


Bernays: 
stellbare Eigenschaft. Es besteht daher 
grundsätzlich durchaus- die Möglichkeit, 
Nachweis für die Widerspruchslosigkeit der Ana- 
lysis durch elementare, handgreiflich sichere 
Überlegungen zu erbringen; wir müssen nur den 
Standpunkt einnehmen, daß nicht diejenigen Ge- 
genstände, auf welche sich die Beweise der Ana- 
lysis beziehen, sondern vielmehr diese Beweise 
selbst das Objekt .der Untersuchung bilden. 
Auf Grund dieser "Erwägung ergibt sich 
nun für Hilbert die Aufgabe einer genaueren Be- 
trachtung der Formen mathematischer Beweise. 
Wir müssen — so sagt er in seinem Vortrag über 
axiomatisches Denken — ‚den Begriff des spezi- 
fisch mathematischen Beweises selbst zum Gegen- 
stand einer Untersuchung machen, gerade wie ja 
auch der Astronom die Bewegung seines Stand- 
ortes berücksichtigen, der Physiker sich um die 
Theorie seines Apparates kümmern muß und der 
Philosoph die Vernunft selbst kritisiert.“ - Für 
die Struktur der mathematischen Beweise sind 
aber in erster Linie die allgemeinen Formen des 
logischen Schließens maßgebend. Daher muß die 
geforderte Untersuchung der mathematischen Be- 
weise jedenfalls die logischen Schlußformen mit- 
betreffen. Und so erklärte auch Hilbert schon 
in dem Heidelberger Vortrag, daß „eine teilweise 
gleichzeitige Entwickelung der Gesetze der Logik 
und der Arithmetik erforderlich“ sei. 
Mit. diesem Gedanken knüpfte Hilbert an die 
mathematische Logik an. Diese Wissenschaft, 
deren Idee auf Leibniz zurückgeht und .die sich 
in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts, von 
primitiven Anfängen anhebend, zu einem frucht- 
baren Felde des mathematischen Denkens ent- 
wickelte, hat die Methoden ausgebildet, wie man 
durch eine symbolische Bezeichnung der einfach- 
sten logischen Verknüpfungen (wie „und“, 
„oder“, „nicht“, alle“) einer mathematischen 
Beherrschung der Formen des logischen 
Schließens gelangt. Es zeigte sich, daß man 
durch diesen „Logikkalkul“ erst den vollen Über- 
blick über das System der logischen 'Schlußformen 
gewinnt, von welchem die Schlußfiguren, die man 
in der traditionellen Logik behandelt, nur ein 
verhältnismäßig kleines Teilgebiet bilden. Ins- 
besondere gelang es Peano, Frege und Russell, 
den Logikkalkul so auszugestalten, daß man damit | 
die gedanklichen Schlüsse der mathematischen 
Beweise durch symbolische Operationen vollkom- 
men nachbilden kann. 
Dieses Verfahren des Logikkalkuls bildet eine 
sinngemäße Ergänzung der Methode der axioma- 
tischen Begründung einer Wissenschaft, insofern 
dadurch neben der genauen Festlegung der Vor- 
aussetzungen, wie sie die axiomatische Methode 
‘bewirkt, auch eine genaue Verfolgung der 
Schlußweisen ermöglicht wird, mit Hilfe deren 
- man von den Grundsätzen einer en zu 
: ihren Folgerungen gelangt. 
‘Indem nun Hilbert das Verfahren der nase 
oe matischen . Logik sich zu eigen machte, nahm er 
Die Bedeutung Hilberts für die Phil 
auch 
den 
-nunmehr, 
‘deutung ohne weiteres klar. 
£ anne der mathematischen Hilfsmittel niemals. 
_ monischen Zusammenfügung der 
- ein vollkommener sein. 
stung darin, daß er den ep auf einen, uni-) 
























an "dieser Meihede eine ganz entsprechend 
deutung vor, wie er es mit der axiomatischen — 
Methode getan hatte. So wie er ehedem die 
Grundbeziehungen und die Axiome der Geomet 
ihres anschaulichen Inhalts entkleidete, so schal : 
tet er nun aus den Beweisen der Arithmetik und — 
Analysis, die er zum Gegenstand seiner Unter 
suchung macht, den gedanklichen Inhalt de 
Schlüsse aus, indem er die Formelsysteme, du 
welehe sich jene Beweise in dem Logikkalku 
darstellen, losgelöst von ihrer inhaltlich-logische: 
Interpretation als das unmittelbare Objekt 
Betrachtung nimmt und somit die Beweisführı 
gen der Analysis durch ein rein formales Han 
deln ersetzt, welches mit bestimmten Zeiche 
nach festen Regeln stattfindet. Ace 
Durch diese Betrachtungsweise, in welcher di 
Absonderung des Spezifisch- Mathematischen vo1 . 
allem Inhaltlichen ihren Gipfelpunkt erreicht, ge- 
winnt die Hilbertsche Ansicht von dem Wesen der. 
Mathematik und der axiomatischen Methode erst 
ihren wirklichen Abschluß. Denn wir erkennen 
daß jene Sphäre des Mathematisch- 
Abstrakten, in welche die Denkmethode der 
Mathematik alles theoretisch Faßbare übersetzt, 
nicht diejenige des inhaltlich Logischen, sondern 
vielmehr das Gebiet des reinen Formalismus ist. 
Die Mathematik erweist sich als die allgemeine © 
Lehre von den Formalismen, und indem wir sie ~ 
als solche erfassen, wird auch ihre universale Be- ; 
Diese Bedeutung der Mathematik aie al 
meine Formenlehre ist in der neueren Physik a 
glänzendste zutage getreten, insbesondere i 
Einsteinschen Gravitationstheorie, wo der : 
matische Formalismus für Einstein die R 
linie abgab zur Aufstellung seines Gravitati 
gesetzes, dessen genauere Form ohne Heran- 
hätte gefunden werden können. Und hier war es 
wiederum Hilbert, der dieses Gravitationsgesetz a 
zuerst auf seine einfachste mathematische. Form- 
brachte und, indem er die Möglichkeit einer har- 
Gravitations 
theorie mit der Elektrodynamik aufzeigte, — die 
weiteren an die Einsteinsche Theorie ankniipfen- 
den mathematischen Spekulationen eröffnet hat, 
die dann von Weyl durch seine geometrische 
Idee zur systematischen Vollendung geführt wur- 
den. Falls diese Spekulationen sich in der Phy- 
sik bewähren sollten, so würde damit der Triumph 
der Mathematik in der modernen a 










Betrachten wir nun im ganzen den EEE 
ertrag von AHilberts philosophischen Unter- 3 
suchungen sowie die Wirkung, die sie ausgeübt. 
haben, und halten- wir uns andererseits die aı 
fangs geschilderte Entfaltung der Mathematik ag 
der neueren Zeit vor Augen, so zeigt sich un 
das wesentliche an Hilberts philosophischer Lei- 

