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. 41922] 
1. Jedem’einzelnen Faden von A, entspricht 
ein bestimmter ihm gleichfarbiger Faden 
von P, und umgekehrt. 
2. Sind irgend ‚zwei Fäden. von Ao einander 
nächstbenachbart, so bleiben auch die ent- 
sprechenden beiden Fäden von P während 
= ihres ganzen Verlaufs nächstbenachbart, 
2 und umgekehrt. 
_ Die erste dieser beiden Eigenschaften liegt 
nach dem Bisherigen auf der Hand. Um uns 
von der zweiten zu überzeugen, brauchen wir nur 
zu beachten, daß zwei nächstbenachbarte mate- 
rielle Punkte unserer Zimmeroberfläche auch 
stets nächstbenachbarte optische Bilder liefern, 
- gleichgültig, wie die perspektivische Deformation 
_ dieser Bilder ausfällt. Damit auch das Umge- 
_ kehrte gilt, müssen wir natürlich voraussetzen, 
[4 
Fig. 2. Der ausgezogene 
Teil der Figur entspricht 
dem Ausschnitt Ao. Die 
Bezeichnungen ft, und 
tk +1 sowie die Ziffern 1 
bis 4 gehören zu Anm. 11, 
Kap.-3. 










_ Figur entspricht mitseinen 
_ Überschneidungen undDe- 
~ formationen einem charak- 
_ teristischen Abschnitt von 
_ P, der untere einem nicht- 
charakteristischen. 
daß unsere Kamera sich gegen die Zimmerober- 
_ flache bewegt: solange sie ruht, kann es ja immer 
noch möglich sein, daß von zwei Punkten, die im 
' optischen Bilde dicht nebeneinander erscheinen, 
der eine auf einem vorspringenden Teil der Ober- 
fläche, der andere also, von der Kamera aus 
- gesehen, beträchtlich hinter ihm liegt. Wir 
müssen daher stets „charakteristische“ Ab- 
schnitte von P in Betracht ziehen, d. h. 
solche, worin tatsächlich innere Deforma- 
- tionen und Überschneidungen auftreten; nur 
für diejenigen Fäden, welche auch in diesen 
Abschnitten sich nieht voneinander trennen, gilt 







“io ‘chauptung. Innerhalb des Phänogramms 
\ ‘. » "önmen wir sie so formulieren: Zwei Fäden, 
Tre ia einem charakteristischen Abschnitt des 
Pihönoeramms eine kurze Zeit lang nächstbenach- 
oor nebeneinander liegen, liegen so auch während 
inres ganzen Verlaufs. — Wir wollen ein Phäno- 
gramm, welches. charakteristische Abschnitte be- 
sitzt, fortan ein „normales“ Phänogramm nennen; 
zwei Fäden eines normalen Phänogramms, von 
denen die eben ausgesprochene Behauptung gilt, 
sollen im eigentlichen Sinne als „nächstbenach- 
_ bart“ bezeichnet werden. P ist offenbar normal, 
ae wir ja die Kamera während der Aufnahme im 
immer umherbewegt haben. — Aus der Bigen- 
aft 2 folgt nun unmittelbar: 
Gerhards: Der mathematische Kern der Außenweltshypothese. 429 
3. Vermag man in Ag von einem bestimmten 
Faden aus zu einem andern zu. gelangen, 
indem man lauter paarweise nächstbenach- 
barte, zu Ag selbst gehörende Fäden über- 
schreitet, so ist das gleiche bei den ent- 
sprechenden Fäden in P möglich, und um- 
gekehrt. 
Damit stoßen wir auf die fundamentale Tat- 
sache, daß die beiden Gebilde Ag und P im all- 
gemeinsten geometrischen Sinne, nämlich im 
Sinne der sog. Topologie oder Analysis situs, 
einander äquivalent sind. Dies bedeutet, daß 
sich das eine Gebilde einfach durch stetige De- 
formation in das andere überführen läßt1%). Bei 
P ist hier natürlich einzig und allein derjenige 
Zusammenhang zu berücksichtigen, welcher auf 
der soeben erläuterten „nächsten“ Nachbar- 
schaft der einzelnen Fäden beruht: von aller 
sonstigen Verbindung der Fäden, insbesondere 
von ihrem Zusammentreffen bei Überschnei- 
dungen, miissen wir absehen. 
Wir können uns die Beziehung zwischen P 
und Ag nun an einem ganz einfachen Beispiel un- 
mittelbar auf dem Papier veranschaulichen. Wir 
haben bereits das Phänogramm P mit einem ge- 
malten Flechtmuster verglichen. Fig. 1 zeigt 
schematisch ein solches Flechtmusterbild, das 
Analogon zu P; Fig. 2 stellt die (auseinander- 
geflochtenen) Stränge des wirklichen Flechtwerks 
dar, also das Analogon zu O und Ao. Man sieht, 
daß sich das Flechtmusterbild, nachdem seine 
Stränge da, wo sie schräg gegeneinander treffen, 
mit der Schere voneinander getrennt sind, tat- 
sächlich durch Deformation in den zugehörigen 
Ausschnitt des Flechtwerks überführen läßt. 
Ein vollkommen adäquates Beispiel zeigen 
die Figuren 3, 4 und 5, von denen die beiden 
ersten bereits S. 427 (bei der des Phänogramms) 
erwähnt worden sind. Das dort Gesagte ist hier 
noch einmal zu vergleichen. 
In Fig. 3 ist ein Teil der Linie L dargestellt; 
von seinen farbigen Punkten sind die hauptsäch- 
lichsten mit den Buchstaben a bis g bezeichnet. 
10) Die Topologie oder Analysis situs ist jene all- 
gemeinste geometrische Disziplin, welche die ausge- 
dehnten Gebilde in bezug auf diejenigen Eigenschaften 
hin untersucht, die bei stetiger Deformation der Ge- 
bilde erhalten bleiben. In topologischer Hinsicht ist 
z. B. eine Kugelfläche mit der Oberfläche eines Eies 
äquivalent: beide Flächen sind in sich geschlossen, 
d. h. ohne Rand; beide sind ferner „einfach zusammen- 
hiingend“, d. h., jede von ihnen wird durch eine beliebig 
auf ihr gezogene geschlossene Linie in zwei vonein- 
ander getrennte Teile zerlegt. Topologisch von anderer 
Art ist z. B. die Oberfläche eines Fingerringes: auf 
ihr gibt es, wie man sofort sieht, geschlossene Linien, 
durch welche die Fläche nicht in zwei getrennte Teile 
zerlegt wird. Bei allen diesen topologischen Eigen- 
schaften kommt es nicht auf die stereometrische Form 
der Fläche, sondern allein auf den Nachbarschaftszu- 
sammenhang der Flächenelemente miteinander an. — 
Wie fundamental die Analysis situs unter Umständen 
noch für die Physik werden kann, zeigt die allgemeine 
Relativitätstheorie. 3 
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