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LRT ARAN GAP 
Zehnter J ahrgang. 
8. September 1922. 

DIE NATURWISSENSCHAFTEN 

Heft 36, 


Uber Nomographie*). 
Von Ludwig Bieberbach, Berlin. 




























Wie thr Name sagt, stellt es sich die Nomo- 
graphie (vowos=Gesetz) zur Aufgabe, auf dem 
Wege der Zeichnung die gesetzmäßigen Abhängig- 
keiten zwischen Veränderlichen zur Darstellung zu 
{ bringen; und zwar zwischen drei und mehr Ver- 
| änderlichen. Es handelt sich also dabei um Weiter- 
4 führungen der allgemein bekannten graphischen 
4 Darstellung der Funktionen von zwei Veränder- 
lichen. Hier ist ja besonders die Darstellung 
1 durch eine Kurve in einem gewissen Koordinaten- 
1 system im Gebrauch. Deutet man z. B. die beiden 
 Veränderlichen als rechtwinklige Koordinaten in 
einer Ebene, so wird die Abhängigkeit zwischen 
beiden durch eine in dieser Ebene aufgezeichnete 
Man findet zu einem gegebenen 
1 Wert von x den zugehörigen Wert von y, indem 
“man von dem betreffenden Punkt der x-Achse 
"parallel zur y-Achse auf die Kurve heraufgeht, 
um dann vom so erhaltenen Punkt parallel zur 
Achse auf die y-Achse zu wandern, wo man 
| dann den gesuchten Wert von y ablesen kann. 
| Es ist bekannt, daß man sich zur Ausführung 
7 einer solchen Zeichnung gerne des Millimeter- 
papiers bedient. Und es ist wohl auch heute in 
vielen Gebieten allgemein geläufig, sich auch der 
anders geteilten Papiere, z. B. der Logarithmen- 
papiere und ähnlicher zu bedienen, wie sie die Fa. 
Schleicher und Schüll seit langem in den Handel 
bringt. Der Vorteil, den diese Papiere bieten, 
liegt darin, daß man auf ihnen manchen Zusam- 
| menhang durch gerade Linien zur Darstellung 
| bringen kann, der auf gewöhnlichem Papier we- 
f niger bequem zu verzeichnende Kurven verlangt. 
f Das Prinzip der Verwendung solcher Papiere soll, 
obwohl es allgemein geläufig sein dürfte, kurz 
erwähnt werden: Genau wie auf dem logarith- 
mischen Rechenschieber sind auf den Kanten des 
Papiers die Logarithmen der angeschriebenen 
| Maßzahlen abgetragen: log x —=$, log y=n. Auf 
 solehem Papier wird dann z. B. die Funktion 
Det 
I 
Ls 
1 P es 
=> durch eine gerade Linie dargestellt, 

da log y = log x als die Gerade p= —& oder 
nmtE=0 erscheint. 
Nahe liegt der Gedanke, die Benutzung der 
Kurve, die uns eben den Zusammenhang zwischen 
den beiden Veränderlichen stiftete, zu vermeiden. 
Nach einem Vortrag im Ausschuß für technische 
' Mechanik am 31. 10. 1921. 
Nw. 1922 
die einzelnen Punkte die Werte von x selbst und 
darüber gleich die Werte von y zu schreiben. Man 
erhält dann auf der Oberseite der x-Achse eine 
sogenannte Funktionsskala, wie sie uns gerade 
vorher schon an, den Rändern des Logarithmen- 
papiers oder auf den Skalen des Rechenschiebers 
begegnete. ‘Doch hat diese skalenmäßige Darstel- 
lung vor der erstgenannten Methode der Kurven- 
kreuzung den Nachteil geringerer Übersichtlich- 
keit, den sie ja mit der ihr nahestehenden rein 
tabellarischen Aufstellung teilt. 
Die bisher genannten Methoden gilt es nun 
sinngemäß und zweckmäßig auf die Darstellung 



















der Funktionen mehrerer Verinderlichen zu 
übertragen. 
D, . Ly — £3. 
Fig. 1. In dieser Figur kann als im Text erwähnte 
x,-Achse z. B. die horizontale unterste Gerade, als. 
at -Achse die am weitesten links gelegene vertikale Ge- 
rade genommen werden. Auf den gegenüberliegenden 
Quadratseiten sind die «,- wid die a .-Werte nochmals 
angegeben. Die a3-Werte sind an die eingezeichneten 
; Hyperbeln angeschrieben, 
Handelt es sich z. B. darum, eine Produkten- 
tafel herzustellen, also um die Aufgabe, die 
Funktion &=xıx graphisch darzustellen, so 
kann man zunächst an die mögliche Deutung der 
drei Veränderlichen. als rechtwinkliger Raum- 
koordinaten denken und die entsprechende 
Fläche durch Aufzeichnung ihrer Höhenlinien 
in der ay-, &-Ebene zur Darstellung bringen. 
Man zeichnet also in dieser Ebene außer den Linien 
&ı = const und & = const noch eine Schar mit 
Nummern  versehener Hyperbeln x3 = const’ 
(Fig. 1). Will man z. B. das Produkt 2,5 . 3,5 be- 
stimmen, so hat man im Punkte a, =2,5 senk- 
recht zur xı-Achse empor .zu wandern, bis man 
der Linie w= 3,5 begegnet. Dann hat man ab- 
zulesen oder durch Interpolieren festzustellen, 
welche Nummer die durch den erhaltenen 
Schnittpunkt gehende Hyperbel besitzt. Diese 
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