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die Größe, und wenn man Eigenbewegung und 
Größe beide benutzt, so ist der Fehler noch ge- 
ringer. Aus dem ganzen Material der gemessenen 
und der aus parallaktischer Bewegung gefundenen 
Parallaxen leitete Kapteyn eine Formel ab, wie 
die mittlere Parallaxe x aus Größe m und Eigen- 
bewegung uw zu berechnen sei. Diese Formel 
lautet: 
Tu,m =O, 905 )™ — 5,5 (0, 0387 w)"/1,405 
oder auch log xu,m = — 0,766 —0,0.43 m+0,712 log u 
Sie besagt, daß für jede Größenklasse, die ein 
Stern heller ist, bei gleicher Eigenbewegung, die 
Parallaxe ?/o,005s = 1,105mal größer wird, während 
jede Verdoppelung der Eigenbewegung bei glei- 
cher Helligkeit die Parallaxe 1,64mal größer 
macht. Solche Formeln wurden noch getrennt 
für den 1. und den 2. Spektraltypus abgeleitet. 
Aus einer Abzählung der Eigenbewegungen bei 
Sternen verschiedener Größe in dem Auwers- 
Bradley-Katalog und einigen anderen Quellen 
wurde abgeleitet, wieviel Sterne zwischen den 
Größen 1,5—2,5, 2,5—3,5, ......85—9,5 am 
ganzen Himmel jahrliche Eigenbewegungen yon 
0”;005, 0”,015, , 0”,095 (d. h. eingeschlossen 
zwischen 0”,00 und 07,01, 0”,01 und 0”,02,...., 
0”.09 und 0”,10), 07,125 (0”,10--0”,15), 0”,175 
(0”,15—0”,20), 0”,25 (07,20—0”,30) usw. haben. 
Für jede dieser Gruppen konnte nun ‘aus der oben- 
stehenden. Formel die mittlere Parallaxe berech- 
net werden. Diese wurde aber nun nicht allen 
Sternen einer solchen Gruppe zuerkannt, denn 
nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit muß 
ein Teil größere, ein anderer Teil kleinere Par- 
allaxen haben. 
Logarithmen der wirklichen Parallaxen (weil die 
äußersten Grenzen der Parallaxen null und un- 
endlich sind) nach dem Fehlergesetz verteilt sind; 
die Abweichungen der beobachteten Parallaxen von 
der Formel führten auf einen wahrscheinlichen 
Fehler dieser Größe 0,19, d. h. daß die Hälfte 
aller wirklichen Parallaxen zwischen 0,52- und 
1,25mal der mittleren Parallaxe liegt. Damit 
ließ sich berechnen, welche Bruchteile aller Sterne 
einer Gruppe wirkliche Parallaxen zwischen be- 
stimmten Grenzen haben; jede Gruppe wurde also 
dem. Gesetz der zufälligen Fehlerverteilung gemäß 
über die verschiedenen Parallaxefächer ausgestreut. 
Die Grenzen der Fächer wurden so gewählt, daß 
sie im Verhältnis 1,58 abnahmen; sie entsprechen 
also Kugelflächen in wachsender Entfernune um 
die Sonne derart, daß der nämliche Stern auf jeder 
folgenden Kugelfläche eineGrößenklasse schwächer 
erscheinen würde. Die Sterne jeder Gruppe wer- 
den nach diesem Verfahren über die verschiede- 
nen Kugelschalen verteilt; in jeder Schale findet 
man so die Anzahl Sterne von jeder jeweils um 
eine Größenklasse verschiedenen scheinbaren 
Helligkeit, also auch von einer um jedesmal eine 
Größenklasse abnehmenden absoluten Größe. Für 
die nächste Schale gilt dasselbe, nur daß alle ab- 
soluten Größen um eins größer sind; in jeder 
folgenden Schale entsprechen denselben schein- 
Pannekoek: J. C. Kapteyn und sein astronomisches Werk. — 
‚Sonne. 
Es wurde angenommen, daß die _ 
‘ betrifft. 












































wissenschaften i 
baren Größen um eins höhere absolute Großen In. 
jeder Schale erhält man nun die Sterne in Gruppen 
nach der absoluten Größe abgezählt; aus jeder 
läßt sich also das Häufigkeitsgesetz innerhalb | 
eines beschränkten Bereichs und die totale An- | 
zahl in der Schale ableiten, aus allen zusammen 
also das Häufigkeitsgesetz über einen ziemlich — 
weiten Bereich und die Änderung der Raumdichte — 
der Sterne mit dem Abstand von der Sonne. F 
Das Resultat dieser Rechnung ist enthalten ” 
in einer kleinen Tabelle, die die Logarithmen der © 
Anzahl Sterne für jede absolute Größenklasse — 
pro tausend Kubikparsek gibt: Kapteyn illu- 
striert den Charakter des Häufigkeitsgesetzes © 
durch die Angabe, daß in einem bestimmten Raum 
gemischt vorhanden sind: 1 Stern gleich 100 000- 
mal die Sonne, 38 Sterne gleich 10 000mal die 
Sonne, 1800 Sterne gleich 1000mal, 36 000 Sterne 
gleich 100mal, 440 000 Sterne gleich 10mal die 
Sonne, 2 Millionen gleich der Sonne, 5 Millionen 
gleich 4/49 und 7% Millionen gleich oo de 
‚Selbstverständlich beruhen die äußersten 
Zahlen auf Extrapolation. Die Anzahl‘ nimmt 
also für die kleineren Sterne stark zu; sie scheint 
sich aber für diese schwächste Sorte einem Maxi- | 
mum zu nähern. Bald nachher wurde von ver- 
schiedenen Seiten bemerkt, daß die gefundenen 
Sternzahlen einem einfachen mathematischen ° 
Gesetz gehorchen: die Logarithmen genügen einer 
quadratischen Formel, mit einem Maximum für | I 
die absolute Größe 9 (3,5 Größe schwächer als die. 
Sonne), also die Anzahlen selbst folgen dem 
Wabhrscheinlichkeitsgesetz, der Gaußschen Fehler- 
kurve erA(M-M)’, Allerdings zeigte das Erfah- © 
rungsmaterial nur einen Ast der Kurve, die hellen 
Sterne; die wieder abnehmende Häufigkeit der — 
noch kleineren Sterne zu zeigen, dazu reichten die 
Beobachtungsdaten noch nicht. g 
Mit der Bestimmung dieses ae 
gesetzes war die Bahn frei für die Erforschung - 
des zweiten Gesetzes, das die Dichtigkeit der ”f 
Sterne in verschiedener Entfernung von der Sonne ~ 
Auf diesem Gebiete war Seeliger schon 
mit bedeutenden Arbeiten vorangegangen und. 
hatte aus ‘den Sternzählungen der Durchmuste- 
rungen und der beiden Herschels soviel abgeleitet 
als sich ohne Kenntnis des Häufigkeitsgesetzes 
ableiten ließ. Die Bedeutung des neuen Gesetzes 1 
hat bald Schwarzschild erkannt, der eine elegante. 
analytische Methode ausarbeitete, die Dichtig- 
keitsverteilung zu finden, wenn sie ähnlich wie 
das Häufigkeitsgesetz selbst durch eine Wahr- 
scheinlichkeitskurve darzustellen ist. Kapteyn. 
lag eine andere Arbeitsmethode näher, die, elasti- 
scher als die analytische, wo der Mensch ‚gleich- 
sam zum Sklaven seiner Formeln wird, immer- 
fort der Verschiedenartigkeit des Ausgangsmate- 
rials Rechnung zu tragen gestattet und die den 
Zulskmmerhafie zwischen Beobachtungsdaten und 
Ergebnissen stets klar erkennen "läßt (ähnlich wie 
bei der Ableitung des Häufigkeitsgesetzes). 
Später hat er allerdings auch die Formeln 
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