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nzahl der Fälle, daß der Zeiger auf einem 
hwarzen Sektor anhält, durch die Summe der 
hraffierten Flächenstreifen gegeben, und. die 
nzahl der Treffer „rot“ durch die Summe der 
htschraffierten Streifen. Jeder Sektor des 
Roulettespiels entspricht dabei bereits einer 
me von Flächenstreifen der Figur, und die 
arbe „rot“ oder „schwarz“ entspricht einer noch 
Beren Summe. Es sind aber zwei nebenein- 
érliegende Streifen nahezu gleich groß, und bei 
erten Flächenstreifen ein kleiner nichtschraf- 
rter, jedem großen schraffierten Streifen ein 
Ber nicht-schraffierter entsprechen, so®ldaß die 
sgesamt schraffierte Fläche nahezu gleich wird 
‘der nicht-schraffierten. Das wird um so genauer 
üllt sein, je kleiner die Teilung AQ ist, je 
ößer-also die Anzahl der Intervalle ist, und es 
sich leicht zeigen, daß in der Grenze für un- 
lieh - kleine AQ die beiden Flächen genau 
eh werden. Voraussetzung ist dabei nur, daß 
Kurve der Fig. 1 stetig verläuft, also keine 
anomalen Sprünge macht; ihre Form _kann 
nz beliebig sein, sie kann auf- und absteigen 
id beliebig gekrümmt sein. Allerdings muß die 
Summe der Rechtecke immer endlich bleiben, und 
‘die Kurve muß deshalb an beiden Enden asym- 
ptotisch zur Abszissenachse verlaufen, d. h. sehr 
große und sehr kleine Werte von 2 müssen 
erst selten vorkomment). Sind diese Voraus- 
ungen erfüllt, so folgt, daß ebenso oft die rote 
‘wie die schwarze Farbe getroffen wird; damit ist 
( ie Gleich-Wahrscheinlichkeit der beiden Farben 
zurückgeführt auf die Existenz einer solchen 
K curve. — Paes 
Was bedeutet nun diese Kurve? Wir miissen 
18 klarmachen, dafi ihre Existenz keineswegs be- 
wiesen war. Wir hatten nur gesagt, daß wir die 
fferzahlen zählen und nach dem genannten 
erfahren eintragen wollten. Genau genommen, 
alten wir dabei überhaupt keine Kurve. Wir 
der 
und 
ck zeichnen, ee gleich 
da en Trefferzahl x, dieses Intervalls ist, 
N “AQ eee “Asie, und dadurch wird de 
eppenweg einer Kurve ähnlicher werden. All- 
klein dürfen wir die AQ bei diesem graphi- 
n Verfahren zunächst nicht wählen. Ist z. B. 
Anzahl der AQ größer als die Anzahl N der 
suche, so kann unmöglich in jedem A® ein 
Der Beweis läßt ‘sich bereits führen, wenn die 
2 integrierbar ist und das Integral von — 00 bis 
einen endlichen Wert hat. Die Forderung der 
keit geht also etwas zu weit; aber sie drückt 
im folgenden immer benutzt werden. Genauer 
ißte man von der Stetigkeit des Integrals sprechen. 
N ist eee 
r Summenbildung wird jedem kleinen schraf- 
<onnen zunächst nur über jedem AQ ein Recht- © 
fer liegen, an vielen Stellen also würde das 
tlichsten die verlangte Eigenschaft aus und soll 

1 oe 
alis h. ve raus set zu ngen a Wahrscheinlichkeitsrechnung. 49 
Recheck — 0 zu zeichnen sein, und der Treppen- 
‚weg würde höchst unregelmäßig werden. Erst 
wenn die Anzahl der Versuche größer genommen 
wird, wird wieder ein regelmäßiger Treppenweg 
entstehen, der nun einer stetigen Kurve noch 
ähnlicher ist als der frühere. Zu einer stetigen 
Kurve selbst aber können wir mit einer endlichen 
Anzahl N von: Versuchen und nur solche 
endlichen Anzahlen stehen‘ uns zur Verfii- 
gung — niemals kommen. Wenn wir trotz- 
dem für die Umdrehungen des Zeigers die 
Existenz einer stetigen Häufigkeitskurve an- 
nehmen, so bedeutet dies die Hypothese, daß bei 
dem geschilderten graphischen Verfahren mit 
wachsendem N eine Annäherung an eine solche 
stetige Kurve mit asymptotischen Enden zu- 
standekommt. Derartige Kurven g(2) nennt 
man Wahrscheinlichkeitsfunktionen, weil die 
Wahrscheinlichkeit W, daß @ in dem Intervall 
von Qı bis 9 liegt, also die relative Häufigkeit‘ 
für beliebige Intervalle, durch den Ausdruck 
h 
ee oe ia af (2) Er 
[02 
gegeben ist. (Aus der Summation der Rechieote 
entsteht für lim N —= 00 das Integral.) Und wir 
können sagen, daß sich die Gleichwahrscheinlich- 
keit der beiden Farben im Roulettespiel zurück- 
führen läßt auf die Hypothese, daß für den Um- 
drehungswinkel des Zeigers eine Wahrscheinlich- 
keitsfunktion existiert. 
Diese Erkenntnis bedeutet einen wesentlichen 
Fortschritt für das Wahrscheinlichkeitsproblem. 
Vorher standen wir vor der Frage, die Gleich- 
wahrscheinlichkeit der roten und schwarzen Sek- 
toren zu erklären; dabei erschien ‘diese Gleich- 
wahrscheinlichkeit als eine mysteriöse Eigen- 
schaft der Farbenstreifen, und es schien gar kein 
Grund vorhanden, warum man über die Streifen 
eine derartig weitgehende Aussage machen sollte. 
Ja, man hat sogar versucht, aus dem Vorhanden- 
h 
Er. 
„sein keines Grundes ein philosophisches Prinzip 
zu machen, indem man sagte, es sei kein Grund 
vorhanden, einen Streifen zu bevorzugen, und 
darum müßten die Streifen gleiche Wahrschein- 
lichkeit besitzen. Dieses „Prinzip des mange:n- 
den Grundes“ übersiekt, daß man ebenso keinen 
Grund hat, die Streifen gleich wahrscheinlich zu 
nennen, und daß man also auch das Gegenteil fol- 
gern könnte; Schlüsse auf keinen Grund zu 
basieren, ist eben immer sehr mißlich. Die 
Hypothese der Wahrscheinlichkeitsfunktion ent- 
hebt uns mit einem Schlage dieser Schwierigkeit. 
Denn sie nimmt die verlangte Eigenschaft von 
den Streifen weg und überträgt sie auf den rotie- 
renden Zeiger; über die Natur des Rotationsvor- 
gangs sagt sie etwas aus, und die Streifen über- 
nehmen dabei nur die Aufgabe, diese eigentüm- 
liche Natur des Rotationsvorgangs sichtbar zu 
machen, in besonderer Zuspitzung zu veranschau- 
lichen. Jetzt haben wir allerdings Grund genug, 
die Streifen gleich wahrscheinlich zu nennen, des- 

