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eder die Fallzeit, und die Rotation des Wiirfels 
ilt stetig. wachsende Intervalle ab, unter“denen 
nachbarte nahezu gleich sind. Der Unterschied 
ist allein der, daß entsprechend den 6 Seiten eine 
ER lassifizierung in-6 Scharen von Intervallen ein- 
itt; wir müssen also in der Figur 6 aufeinander- 
mids Intervalle verschieden schraffieren und 
- dann mit der Schraffierung von neuem beginnen ; 
aber man kann für die 6 Flächen, die von den 
-gleichschraffierten Intervallen eingenommen 
werden, ganz entsprechend beweisen, daß sie in der 
Grenze für unendlich kleine Intervalle einander 
gleich werden. Daß die Genauigkeit mit kleine- 
en. Intervallen wächst, ist eine praktisch aner- 
nnte Erscheinung; denn man nimmt allgemein 
an, daß die Verteilung um so regelmäßiger aus- 
llt, je rascher der Würfel rotiert. Auch für 
oraussetzung betrachten. 
_ Wesentlich ‘bleibt. dabei immer, daß die Hypo-' 
ese nur Stetigkeit der Wahrscheinlichkeits- 
‘unktion verlangt, über ihre spezielle Form je- 
doch nichts voraussetzt. 
Nun gibt es Fälle, für die man 
"fühl heraus“ 
> Form 
„aus dem Ge- 
(ci = Gonst, 
ansetzt; es ist wichtig, daß man diese Form auch 
s der bloßen Stetigkeit einer Wahrscheinlich- 
reitsfunktion, aber für eine andere Größe, ab- 
eiten kann. Um dies an einem Beispiel zu ver- 
utlichen, greifen wir wieder auf das Roulette- 
spiel zurück. Wir hatten dort den Umdrehungs- 
inkel Q über 360° hinaus gemessen und die 
Existenz einer stetigen Wahrscheinlichkeitsfunk- 
tion p(2) angenommen (Fig. 1). Nun ent- 
spricht jeder rote eder schwarze Sektor bereits 
einer Summe von Intervallen AQ, und wenn man 
nicht "mehr 2 Scharen abteilt, Köndern. ähnlich 
wie beim Würfelspiel, so viel Scharen nimmt, wie 
Sektoren da sind, so ergibt sich für jeden ein- 
zelnen Sektor ‘bereits die gleiche Summe schraf- 
fierter Flächenstreifen und damit die 
_ Wahrscheinlichkeit. Wir brauchen nicht mehr 
bis zu “der größeren Summe der roten: 
und ‚der schwarzen Sektoren zu gehen. Würde 
man die Sektoren ungleich groß machen, so 
würde dem größeren Sektor eine in diesem Ver- 
‚hältnis größere schraffierte Fläche und damit 
eine entsprechend größere Wahrscheinlichkeit zu- 
kommen. - D. h. die Wahrscheinlichkeit ist pro- 
portional dem Winkel des Sektors, und wenn man 
den Winkel jetzt nicht über 360° hinaus zählt 
‘und mit ® bezeichnet, so bedeutet dies, daß 
BRD [ow aves 
, wo k eine Konstante darstellt. 
; Fe: (0) = k = const. 
% Wir’ t ialten! also für die Größe ® eine Wahr- - 
- scheinlichkeitsfunktion von der speziellen Form 
(9) — const., wenn wir für die Größe 2 eine 
5] 
- entsteht vielmehr erst dadurch, 
eses Glücksspiel läßt sich also die Hypothese © 
E Wahrscheinlichkeitsfunktion als hinreichende ~ 
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion 
ist die Zahl der 
gleiche 
‘der ersten 
Daraus folgt - 
51 
OW a ieeintchkeitfuinktien @(2) von’ beliebiger 
Form annehmen. So ist unter Umständen die 
Stetigkeitshypothese hinreichende Voraussetzung 
für das Auftreten einer ganz - speziellen Wahr- 
scheinlichkeitsform. 
IV. Die Ausdehnung der Hypothese der Wahr- 
> scheinlichkeitsfunktion auf die Kombination 
mehrerer — voneinander unabhängiger — Ereig- 
nisse. 
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung begniigt sich 
nicht damit, die Gleichwahrscheinlichkeit der ein- 
zelnen Fälle zu statuieren. Ihr ganzer Aufbau 
daß sie die Kom- 
bination solcher Fälle vornimmt und die Wahr- 
scheinlichkeit beliebiger Kombinationen berech- 
net, wenn die Wahrscheinlichkeit der Einzelfälle 
gegeben ist. Dabei benutzt sie das „Gesetz der 
zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit“, welches 
besagt, daß die Wahrscheinlichkeit einer Kombi- 
nation gleich dem Produkt der Einzelwahrschein- 
lichkeiten ist, wenn die betrachteten Fälle von- | 
einander unabhängig sind (Multiplikationstheo- 
rem). Es entsteht die Frage, welche physikalische 
Hypothese wir für das Zutreffen dieses Rechen- 
verfahrens machen müssen. Ehe wir dazu schrei- 
ten, müssen wir jedoch genauer erklären, was un- 
abhängige Vorgänge sind; denn dieser Begriff 
ist wesentlich für die Geltung des Gesetzes. 
Wir beschreiben einen physikalischen Vorgang 
dadurch, daß wir die ihn charakterisierenden Be- 
stimmungsstücke zueinander in Beziehung setzen; 
wir beobachten etwa an einem fallenden Stein 
eine bestimmte Geschwindigkeit und vergleichen 
‘sie mit der Zeit, während der der Stein bereits 
gefallen-ist, und die dabei gefundene Relation 
v=g.t stellt eine Beschreibung des Fallvorgan- 
ges dar. Wir sagen, daß die Geschwindigkeit 
eine Funktion der Fallzeit ist, 
radezu als ein Suchen nach abhängigen Größen 
und der Art ihrer Abhängigkeit bezeichnen. Nun 
Abhängigkeitsrelationen sehr 
groß, so groß, daß es sogar ganz unmöglich. ist, 
sie jemals zu erschöpfen; aber ‘unter ihnen zeich- 
nen sich einzelne dadurch aus, daß sie das Ge- 
schehen vorherrschend charakterisieren, und man 
gelangt zu Erkenntnissen bereits dadurch, daß 
man sich auf diese Relationen beschränkt. So 
besteht in unserem Beispiel des fallenden Kör- 
pers auch eine Relation zwischen der Geschwin- 
digkeit und der. Luftdichte, weil diese die Rei- 
bung beeinflußt; aber man kann feststellen, daß 
eroßen Änderungen der Luftdichte nur kleine 
Änderungen der Fallgeschwindigkeit entsprechen, 
und darum darf man diese. Relation neben 
vernachlässigen. Bei einer ge- 
naueren Theorie des Falles wird man diese Ein- 
flüsse allerdings hinzuziehen; aber sie bedeuten 
‘doch nur eine Abhängigkeit ‘von geringerem 
"Grade und bleiben dadurch von der ersten Ab- 
hangigkeit unterschieden. Der Abhängiekeits- 
grad kann jedoch noch weiter sinken. So ist 
oder einfacher, 
daß sie von der Fallzeit abhängig ist; und wir 
können das Erkenntnisverfahren der Physik ge- ~ 
