


t. Die Re oceit dieser Säulen werden in 
_gekrimmten Fläche liegen; wir nehmen 
die Voraussetzung hinzu, daß diese Fläche 
von beliebiger Krümmung, aber stetig ist, 
daß sie sich für entfernte Gebiete der x-y- 
bene asymptotisch nihert. Die Streifen der 
ervalle in der x-y-Ebene sind wieder abwech- 
schraffiert. Wir betrachten nun die stark 
mrahmte Schnittfigur von vier Streifen; darin 
tspricht das weiße Rechteck der Kombination 
Wappen-Wappen, das doppelt schraffierte Recht- 
eck der Kombination Kopf-Kopf, und die beiden 
einfach schraffierten Rechtecke den beiden ge- 
ischten Kombinationen. Da p(x, y) durch eine 
tige Fläche dargestellt ist, so werden die pris- 
m atischen Säulen über diesen vier Rechtecken bei 
geniigender Kleinheit der Intervalle nahezu 
eich, und wenn auch die Säulen an verschiede- 
n Stellen der Ebene ganz verschieden hoch 
nd, so werden doch die 4 Summen, die bei der 
Addition der Säulen über gleich schraffierten 


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is Hies 9; 3 
ur Wahrscheinlichkeit za gleichzeitigen Eintretens 
zweier voneinander unabhängiger Ereignisse, 
Rechtecken entstehen, nahezu gleich; in der 
renze für unendlich kleine Intervalle werden 
= men, weil wegen des asymptotischen Verlaufs der 
läche der Raum zwischen ihr und der x-y-Ebene 
dlich ist. Die Wahrscheinlichkeiten der Kom- 
inationen entsprechen diesen Summen; für die 
Kombination Wappen-Wappen ergibt sich %, für 
die gemischten Kombinationen 4 +%—%, und 
-Kopf-Kopf entsteht ebenfalls . 
Wir Können jedoch aus unseren Voraussetzun- 
n noch ein weiteres Resultat ableiten. Wir 
issen verlangen, daß neben der 
m für jede Größe, x sowohl wie y, eine Wahr- 
heinlichkeitsfunktion f(x) bzw. f(y) existiert, 
welche die Verteilung dieser Größen gleichzeitig 
bestimmt. Wir können dann für (z,y) die 
s Multiplikationstheorem der . Wahrscheinlich- 
aunktionen vorschreibt, wenn wir noch an- 

















sie genau gleich groß. Endlich sind diese Sum- 
Existenz von — 
q x,y) unsere alte Hypothese gilt, daß also außer- 
ielle Form $(z,y) =f(e).f(y) ableiten, die 
igen d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 53 
nehmen, daß die beiden Größen voneinander un- 
abhängig sindt). 
Zum Beweise.denken wir uns zunächst « = # = konst. 
festgehalten, so daß die Funktion die Form (x, y) 
annimmt. Dabei entsteht eine Verteilung von Kombi- 
nationen a, y, beider & überall dasselbe ist und 
‘allein y variiert, so daß dies allein für die y eine Ver- 
teilung bedeutet. Die Anzahl der Werte y für jedes 
beliebige Intervall ist aber gleich der Anzahl der 
Werte (x, y). Sind nun die Vorgänge unabhängig, so 
werden (nach Definition) die Werte y nicht beein- 
fluBt durch die Werte x; es muß also dieselbe Vertei- 
lung % entstehen, gleichgültig, ob w variiert oder 
© =a konstant bleibt, oder der Vorgang x überhaupt 
nicht stattfindet. Darum muß die durch @(&, %) 
dargestellte Verteilung der y in jedem Punkt der durch 
f(y) gegebenen Verteilung entsprechen, ihr also pro- 
portional sein; der dabei auftretende Proportionalitäts- 
faktor & kann noch von @ , nicht aber von y abhängen. 
Also. gilt, als charakteristisch für unabhängige 
Toros 
Vorgänge, 
@ (Lo Yy) = ki) Y) 
Da dies für jedes beliebige «=a gilt 
wieder die Forderung der Unabhängigkeit), 
eine Identität sein, und wir schreiben 
@ (le y) = ka) fly). 
Dieselbe Überlegung gilt, wenn y= yo konstant bleibt 
(das ist 
muß dies 
und variiert, so daß ebenfalls gilt: 
@ (a: y) = f(x) ky). 
Daraus folgt: 
kt) = f(x) ; ky) = f(y) ; 
also: 
p (x y) = f(a) fly). 
Wesentlich fiir diesen Beweis ist die Forde- 
rung der Unabhangigkeit der beiden Vorgänge. 
Denken wir uns z. B. einen Körper auf rauhem 
Boden beliebig hin- und hergestoßen, so daß seine 
Lage durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion be- 
stimmt ist, und mit ihm durch eine federnde 
Kupplung verbunden einen zweiten Körper, der 
auf dem rauhen Boden sprungweise gleitet. Dann 
wird auch fiir den zweiten Körper eine Wahr- 
"scheinlichkeitsfunktion existieren, und es wird so- 
gar für die Kombination ihrer Lagen eine Wahr- 
scheinlichkeitsfunktion $(x, y) existieren. Aber 
diese wird nicht die spezielle Form f(x) . f(y) 
haben, sondern bestimmte Kombinationen, für die 
der räumliche Abstand von x bis y der mittleren 
Länge der Kupplung entspricht, werden bevor- 
zugt sein. In dmsem Fall ist eben die Bedin- 
gung der Unabhängigkeit nicht erfüllt. Es ist 
nur natürlich, daß diese als Forderung in unsere 
‚Ableitung eingeht, denn sie wird auch von der 
geltenden Wahrscheinlichkeitsrechnung für das 
Multiplikationstheorem vorausgesetzt. 
Das Multiplikationstheorem zwingt uns also, 
die Hypothese der Wahrscheinlichkeitsfunktion 
zu erweitern und auf die Kombination mehrerer 
Argumente auszudehnen. Es leuchtet ein, daß 
wir nicht bei der Anzahl zwei stehen bleiben 
dürfer, da auch die Kombination mehrerer Er- 
eignisse geregelt werden muß. Wieder aber 
1) Da diese Ableitung in der genannten Arbeit von 
mir nicht scharf genug formuliert worden ist, sei sie 
hier ausführlich gegeben. 
