



dies ausgeschlossen. 
auf dem Zusammenwirken 
2 Fehlerfunktion dar, 
braucht nur die Stetigkeit der Funktion, nicht 
irgendein spezieller Wert, gefordert zu werden. 
Die spezielle Produktform läßt sich für den be- 
sonderen Fall der Unabhängigkeit aus der all- 
gemeinen Form ableiten. Indem wir die Er- 
weiterung in den ursprünglichen Begriff auf- 
nehmen, dürfen wir jetzt sagen: die Existenz 
der Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine oder 
mehrere Verdnderliche stellt die hinreichende 
Voraussetzung dar 
Wahrscheinlichkeitsgesetze. 
Es ist zu beachten, daß wir aus der Stetigkeit 
von p(x, y) bereits das Multiplikationstheorem für 
Wahrscheinlichkeiten ableiten konnten,, die sich 
nach dem Schema der geworfenen Münze dar- 
stellen lassen, daß wir dazu also die spezielle 
Produktform von (a, y), d. i. das Multiplika- 
tionstheorem der Wahrscheinlichkeitsfunktionen, 
nicht brauchten. Es scheint deshalb, als ob für 
das erste Multiplikationstheorem die Unabhän- 
gigkeit der Vorgänge nicht vorausgesetzt zu wer- 
den brauchte, die für das zweite verlangt wird. 
Das ist jedoch ein Irrtum. Mit der Stetigkeit 
von (a, y) wird bereits vorausgesetzt, daß eine 
Abhängigkeit zwischen den Intervallen der einen 
Größe und denen der anderen nicht existiert, 
d. h. daß nicht ein Intervall „Wappen“ der einen 
Reihe wieder ein Intervall „Wappen“ der anderen 
Reihe zur Folge hat. Wäre dies der Fall, so 
würde bei Verkleinerung der Intervalle eine An- 
näherung der prismatischen Säulen niemals statt- 
finden. 
Dies ist die Unabhangigkeit, 
die allein fiir die Multiplikation einfacher Wahr- 
scheinlichkeiten zu gelten hat. Im übrigen dürf- 
ten die Größen allerdings abhängig sein, und aus 
dem geschilderten Mechanismus der federnd ge- 
kuppelten Körper ließe sich bei ‘geeigneter Tei- 
lung in Interyalle ebenfalls das Schema für die 
einfache Multiplikation ableiten. Erst das Multi- 
plikationstheorem der Funktionen verlangt Un- 
abhangigkeit der ganzen Vorgänge. 
V. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im der Theorie 
der Messungsfehler (Gaußsche Fehlerfunktion), 
In der Theorie der Beobachtungsfehler spielen. 
die Wahrscheinlichkeitsfunktionen eine bevorzugte 
Rolle. Diese Theorie hat die Aufgabe, aus zahl- 
reichen voneinander verschiedenen Meßresultaten 
denjenigen Wert zu berechnen, der der gesuchten 
Größe am besten entspricht; 
Annahme über die Verteilung der Messungsfehler 
machen, ‘und obgleich sie über diese Fehler nur 
sehr allgemeine Vermutungen aufstellen kann, 
muß sie auf ganz spezielle Formen des Vertei- 
lungsgesetzes schließen, wenn sie überhaupt zu 
Resultaten kommen will. Dabei muß beachtet 
werden, daß der Fehler der einzelnen Messung 
sehr vieler Fehler- 
quellen (Elementarfehler) beruht. 
tendste Lösung des Problems stellt die Gaußsche 
in welcher die Wahrschein- 
für die Anwendbarkeit der 
Durch die Stetigkeit der Funktion ist. 
dazu muß sie eine 
Die bedeu- 
Es gibt ee re “ante 
denen man diese spezielle Form ableiten ka 
Für unsere Betrachtungen ee ist die: Tat- 
Ares: Bee gen Taler a: 
ils 
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ei von WahrscheimlisWeeitgeesoten | enthält. S: 
a uns vielmehr auf diejenigen Voraussetzun- 
scheinlichkeitsrerteilungen | a 
a ist der ‚systematische a h das „Präzision 
maß“, 
_ sammenwirken.. 
Man erkennt, daß die erste Bedingung mi 
unserer ersten Hypothese identisch ist, und di 
zweite nach der gegebenen Ableitung auf die ™ 
weiterte Hypothese für die Wahrscheinlichkei 
funktion von Kombinationen zurückgeführt wer 
den kann. Die dritte Bedingung stellt im Gegen- _ 
satz dazu keine prinzipielle Voraussetzung, so 
dern eine Annahme dar, die nur unter gewisse 
Umständen erfüllt ist; eb diese Umstände gegebe 
sind, läßt sich einpiriseh konstatieren, und nur 
fiir diese Fälle gilt dann das Gaußsche Gesetz. 
Dieses Gesetz ist eben eine Spezialform, die k 
neswegs ein’ 'allgemeines Prinzip darstellt u cee 
nicht in den Vordergrund der Betrachtung g 
schoben werden darf. Seine praktische Bedeutun 
hat das Gesetz daher, daß die modernen Me 
instrumente in ihrem komplizierten Bau zahl- 
reiche Fehlerquellen zusammenführen und. so die 
dritte Bedingung erfüllen; 
seiner Verwendung. ws 
Ahnlich liegt es mit der sogenannten yo 
these des arithmetischen Mittels“, nach welche 
der Mittelwert der Messungen mit größter Wah 
scheinlichkeit der gesuchten Größe entsprie 
Dieses Gesetz ist immer dann erfüllt, wenn d 
Gaußsche Fehlergesetz gilt; aus diesem Ss ‚es 
durch eine 
ration. 
dieselben Bedingungen — geknüpft 
Gaußsche Exponentialgesetz; 
dingung nicht erfüllt, so ist auch das Verfahren R 
des arithmetischen Mittels nicht anwendbar. Da, 
nach ist es nicht zweckmäßig, von einer Hypo- 
these des 2 
Hypothetisch nennt man besser nur die Ben 
zurückliegenden Voraussetzungen. 
Daraus ergibt sich, daß auch die Fehlertheo- 















































Die Häufigkeit jedes Rlemmentaetekign 
durch eine Wahrscheinlichkeitsfunkti 
von beliebiger Form bestimmt. eT an 
Diese Funktionen setzen sich nach | dem 
Multiplikationstheorem zusammen. 
Es müssen sehr viele, voneinander. "unab 
hängige Fehler gleicher Gren zu 

daher die we i 
sehr einfache mathematische O ae 
Aber damit ist auch gesagt, daß es f 
ist wie .d: 
ist die dritte Be 
arithmetischen Mittels zu spreche 

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