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vierdimensionalen . Geometrie  gibt®). 
mubte gefolgert werden (eine nähere Begründung 
muß in diesem Zusammenhange unterbleiben), 
daß in der relativistischen Physik (als deren Spe- 
zialfall die klassische anzusehen ist) auch das 
Gravitationspotential eine zehnkomponentige 
Größe sein muß. 
So erscheint also das elektromagnetische Feld 
‘durch eine vierkomponentige Vektorgröße, das 
Gravitationsfeld durch eine zehnkomponentige 
=, Tensorgröße bestimmt. Beide Felder fallen dabei 
‘ zusammen, und die Existenz beider bedingt die 
Gesamtheit aller der Erscheinungen, die wir als 
physikalische bezeichnen. 
Auf Grund dieser Überlegungen können. wir 
nun die Frage, ob die Physik einer geometrischen 
Notwendigkeit entspringe, in exakter Weise dahin 
ER formulieren, daß wir fragen: Läßt sich ein geome- 
< trischer Grund dafür angeben, daß man in einer 
wahrhaft allgemeinen Geometrie jedem Punkt- 
eine Vektor- und eine Tensorgröße zuordnen muß? 
Diese Frage müssen wir in der Tat nach dem ge- 
genwärtigen. Stande der Geometrie bejahend be- 
= antworten. Daß eine wahrhaft allgemeine Geo- 
oe metrie nur dann einen Sinn hat, wenn jedem 
Punkte ein bestimmter Tensor zugeordnet wird, 
hat. bereits in der Mitte des 19. Jahrhunderts der 
0... große Mathematiker Riemann im Anschlusse an 
 . Gauß gezeigt!%). Einstein brauchte nur die Er- 
kenntnis Riemanns, die für eine beliebige geome- 
trische Mannigfaltigkeit (von beliebiger Dimen- 
sionszahl) gilt, auf die Minkowskiwelt anzuwen- ~ 
den, um (1915) eine Theorie der Gravitation auf 
rein geometrischer Grundlage aufstellen zu kön- 
f nen!1), Daß aber eine wahrhaft allgemeine Geo- 
SE metrie notwendigerweise außer dem erwähnten 
Tensor überdies noch jedem Punkte auch. einen 
Vektor zuordnen müsse, das hat 1918 Weyl ge- 
‚ zeigt; und indem er diese Erkenntnis wieder auf 
die Minkowskiwelt übertrug, gewann er die Mög- 
lichkeit, der rein 
Theorie der Gravitation eine rein geometrische 
Theorie der Elektrizität an die Seite zu stellen*?). 
"Nach der Auffassung der Weylschen Geometrie 
muß nun eine Mannigfaltigkeit von beliebiger Di- 
mension, damit in ihr überhaupt eine Geometrie 
möglich sei, unbedingt von vornherein ein Vek- 
torfeld und zugleich ein Tensorfeld darstellen. 
Das ist natürlich eine für die meisten Laien zu- 
nächst kaum faßbare Vorstellung, und dies rührt 
daher, weil wir gewöhnt sind, uns der sogenann- 
ox ten euklidischen Geometrie zu bedienen, die aber 
: eben nach der heutigen Auffassung nur als aus- 
*) Bezeichnet man die vier Achsen mit 1, 2, 3, 4, so 
2 bezeichnet man die Komponenten ‘eines derartigen Ten- 
ae sors (dieses Wort wird auch in einem viel weiteren 
13, 14,.23, 24, 34, 
20)) Riemanns 
Leipzig 1892), Nr. 
1). Vol, 
mathematische Werke 
XII. 
die in Anm. 3 zitierte Schrift: 
12) „Gravitation und Elektrizität“, Sitzungsber, d. 
Berliner Akademie, 1918, S. 465—480, 
(2. 
5 
& , 


Hans: Die Physik Diet geometrische 4 
Dass 
geometrischen Einsteinschen: 
Sinne gebraucht) durch die Indizes 11, 22, 33, 44, 12, - 
Aufl. 














































a: Sonderfall. einer fen allgeme a 
Geometrie aufgefaßt werden darf. In der 
beruht die euklidische Geometrie auf. zwei w 
kürlichen Vorurteilen, deren erstes eben Ri 
mann, deren zweites Weyl aufgedeckt hat. — 
‘Welche diese beiden Vorurteile sind, werde: 
wir am ehesten erkennen, wenn wir uns zunächs 
auf den einfachen Fall einer zweidimension 
Geometrie beschränken. Jeder Gebildete ‚kennt 
die elementaren Sätze der sogenannten Planim 
trie, wie beispielsweise den Satz, daß die Wink: 
summe in einem Dreieck 180 Grad beträgt. Ab 
jeder, der einmal etwas von sphärischen Trigo 
metrie gehört hat, weiß auch, daß eine zweidin 
sionale Geometrie ebensowohl wie in einer Eber 
auch auf einer gekrümmten Fläche, z. Bea 
einer Kugelfläche möglich ist; er weiß auch, 
in einer derartigen Geometrie im allgemein 
andere Sätze?) gelten als in der Planimetrie, da 
z..B. die Winkelsumme in einem sphärischeg : 
Dreieck stets größer. ist als 180 Grad.’ 
Auch der Laie wird nun — man möchte fast : 
sagen, instinktiv — erkennen, wodurch die ebene 
Geometrie vor allen anderen Geometrien auf g% 
krümmten Flächen als Sonderfall ausgezeichn 
ist. Nur in der ebenen Geometrie hat es einen 
Sinn, von Richtungen schlechthin zu sprechen; 
in eee anderen krummlinigen Geometrie kann 
man nur von einer Richtung in einem bestimmte; ® 
‘Punkte sprechen. ‘Ziehen wir auf einer Tafel- 
ebene eine durch irgend. einen Punkt gehende Ge 
rade, dann kénnen wir ohne weiteres durch eine 
ganz beliebigen anderen Punkt in der Tafeleben 
eine Gerade ziehen, die dieselbe Richtung h 
wie die erste Gerade. Auch der Laie erke 
sofort, daß auf einer beliebig gekriimmten Flach 
eine derartige Aufgabe im allgemeinen kei 
Sinn hat. In der Tat, denken wir uns etwa : 
einem recht ‚großen Globus, der die Erde da: 
‚stelle, an der Stelle der Stadt Wien eine kle 
Nadel in der Richtung des Meridians gelegt; 
‚ Nadel sei so klein, daß wir davon absehen könne 
daß sie sich nicht völlig an die Globusfläche : 
schmiegt; die Nadel wollen wir dann im Me 
dian verschieben, bis sie bei dem nördlichen 
larkreis angelangt sei. Dann erscheint es un 
die wir räumlich zu sehen vermögen, ganz k 
daß die Nadel jetzt eine andere Richtung "hat 
früher in Wien. Und doch haben wir die Na 
auf der Globusfläche in ihrer - eigenen Rich un 
von Wien bis zu dem Polarkreis verschoben, ; 
daß also vom Standpunkte der zweidimensionale 
Geometrie aus mit vollem Rechte behauptet 
den kann, daß sich die u, der Ee mic 
geändert habe. 
Noch deutlicher er a wir die Unbestim 


=) Außer in der Fihene‘ Kohn gelten“ die‘ Sätz A 
Planimetrie auch auf solchen Flächen, die durch Ve 
biegung einer ebenen Fläche erzeugt werden ‘kon 
Dies trifft z. B. für eine Zylinder- oder Kegelfläch: 
‚nicht aber für die. ae einer Bie od 
. Bies zu. 
