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| en; die eine Kurve werde so konstru- 
aß sie über Amsterdam, die andere so, daß 
über Rom führe. Wir verschieben in beiden 
ällen die Nadel längs der betreffenden Kurve 
art, daß der Anfangspunkt der Nadel in der 
urve fortwandert, während die Nadel selbst par- 
lel zu sich verschoben wird: Wir werden dann 
in den, daß in den beiden Fällen die Nadel bei 
ırem Einlangen i in Paris eine verschiedene Rich- 
ng hat!?). 
Schon diese kurze Überleeihe laßt uns erken- 
en, daß auf einer gekrümmten Fläche eine ma- 
Pe: sein muß. als in der ebenen Geome- 
Zunächst einmal können wir auf einer ge- 
ees Flache offenbar überhaupt nicht mehr 
‚Ferngeometrie“ betreiben wie in der Ebene, son- 
n nur noch sogenannte „Nahegeometrie“. Aber 
sIbst ‚wenn wir uns mit der Nahegeometrie be- 
niigen, so müssen wir offenbar erst in den Stand 
etzt werden, überhaupt Richtungen in zwei 
benachbarten Punkten miteinander vergleichen 
können. Ist nämlich A irgend ein Punkt und 
ein ihm, wie man sagt, unendlich naher, «und 
st uns irgend eine Richtung im Punkte A gege- 
yen, dann müssen wir, um überhaupt auch nur 
fahegeometrie betreiben zu können, .wissen, 
Iche > Richtung im Punkte B der gegebenen 
ichtung im Punkte A als „gleiche Richtung“ 
itspricht. - Es ist klar, daß wir dies nur wissen 
Öönnen, wenn uns im Punkte A eine Größe ge- 
' 2b ist, die gewissermaßen die Art der Rich- 
tungsiibertragung von dem Punkte A zu einem 
‚benachbarten bestimmt. Diese Größe erweist. sich 
‚ eine Tensorgröße in dem vorhin .angegebenen 
eren) Sinne. x 
Gauf hat nun- bereits die bedeutungsvolle 
E ıtdeckung gemacht, daß durch diesen Tensor 
Ki rvenlingen, Winkelgrößen, Flächeninhalte von 
iguren bestimmt sind; daß daher auch umge- 
shrt der Tensor-durch ee innen) an der be- 
ann, ‘ohne daß man irgend etwas darüber zu 
issen braucht, wie die Fläche in den Raum „ein- 
abettet“ ist. Man nennt darum den Tensor, weil 
ante Metrik bestimmt, den metrischen Fun- 
an ventaltensor ; in einer allgemeinen Flächen- 
‘undamentaltensor als von Stelle zu Stelle 
etig - Weise verschieden anzusehen, so daß 
ann d die betreffende Fläche zugleich das Feld 
eigenen | metrischen Fundamentaltensors 
elit, . Ist uns dieses Feld gegeben, so können 
dann, ohne irgend etwas über die Gestalt 
Fläche‘. zu wissen, in der Fläche Geometrie 
or 
In der ‘Sprache der Mathematik. driickt man 
4 . che. a den Bae aus, daß in einer nicht 


betreiben: 
‚Möglichkeit 
matische Theorie gerichteter Größen jedenfalls . 
treffenden Stelle der Fläche ermittelt werden’ 
die Maßverhältnisse, weil er erst die so- 
trie haben wir nun natürlich den metri-. 
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Die sogenannte euklidische Geometrie 
erscheint aber als Spezialfall der allgemeinen 
Flächengeometrie dadurch charakterisiert, daß in 
ihr die Komponenten des metrischen Fundamen- 
taltensors in jedem Koordinatensystem überall 
eins oder null sind®>). 
Bisher haben wir nur von zweidimensionaler 
Geometrie gesprochen; und zwar mit Absicht, weil 
wir uns eben nur bei zweidimensionalen Mannig- 
faltigkeiten anschaulich vorstellen können, wie.sie 
in eine Mannigfaltigkeit von einer um eins höhe- 
ren Dimension eingebettet sind. Bei dreidimen- 
sionalen Mannigfaltiekeiten fehlt uns bereits die 
einer analogen anschaulichen Vor- 
stellung. Aber schon Riemann hat erkannt, daß 
auch unsere übliche räumliche Geometrie nur 
als Spezialfall einer viel allgemeineren drei- 
dimensionalen Geometrie angesehen werden 
darf, in der eben auch der metrische Fun- 
damentaltensor von Stelle zu Stelle verschie- 
den wäre; und was für die dreidimensionale: Geo- 
metrie gilt, das gilt, wie auch schon Riemann 
wußte, ebenso für jede Geometrie von beliebiger 
Dimensionszahl. Die Zahl der Komponenten des 
metrischen Fundamentaltensors ist dabei stets 
gleich der Summe aus der Zahl der Koordinaten- 
achsen und der Koordinatenflächen; in der zwei- 
dimensionalen Geometrie hat also der Fundamen- 
taltensor drei, in der dreidimensionalen sechs, 
in der vierdimensionalen zehn Komponenten. 
Das erste willkürliche Vorurteil der euklidi- 
schen Geometrie besteht nun, wie wir gesehen ha- 
ben, darin, daß in ihr von Richtungen schlecht- 
hin gesprochen wird, während in einer voraus- 
setzungslosen Geometrie nur von einer Richtung 
in einem bestimmten Punkte gesprochen werden 
darf; und wenn wir das eine der euklidischen 
Geometrie zugrundeliegende Vorurteil so formu- 
lieren, dann werden wir ganz von selbst zu der 
. Erkenntnis des zweiten Vorurteils geführt, das 
eben erst 1918 Weyl in der Geometrie aufgedeckt 
_ hat. Dieses zweite Vorurteil besteht darin, daß 
wir in der klassischen und auch noch in der Rie- 
mannschen Geometrie von Längen schlechthin 
sprechen, statt uns darauf zu beschränken, immer 
nur von einer Länge in einem bestimmten kleinen 
Bereiche zu reden. Wenn es, wie wir gesehen 
haben, im allgemeinen keinen Sinn hat, von einer 
Richtung in einem Punkte zu behaupten, daß sie 
„dieselbe set~wie die in irgend einem entfernten 
Punkte, dann muß uns wohl eigentlich auch die 
Behauptung sinnlos erscheinen, daß zwei kurze 
Strecken, die man in zwei entfernten Bereichen 
zieht, dieselbe Länge hätten. Ebenso wenig wie 
Riehtungen können in einer konsequent durchge- 
führten Nahegeometrie .im allgemeinen Längen 
mit einander verglichen werden!®). 
35) Eins sind die Komponenten, bei denen derselbe 
Index zweimal vorkommt, null die übrigen (vgl. An- 
merkung 9). 
16) In der Sprache der Mathematik ausgedrückt: 
Ebensowenig wie die Riehtungsübertragung ist im all- 
gemeinen. die Längenübertragung integrabel. 

