





Häufigkeit über die unendische Pv ieicwnane ver- 
teilen. Trifft das zu, so erhält man, wie in der Wahr- 
_ scheinlichkeitsrechnung gezeigt wird, als Wahrschein- 
lichkeit dafür, daß man von einem beliebigen Zeit- 
| punkt an auf ein E eine zwischen ¢ und t+dt lie- 
| gende Zeit warten muß, den Wert b(t)dt, wo 
U A > 
ist. Hier ist p eine Konstante — wir wollen sie 
Frequenzzahl nennen —, die eben für die ee 
unserer Ereignisse E charakteristisch ist. 
Man sieht sofort, daß die verschiedenen für 
die Werte von p bestehenden Möglichkeiten gerade 
den bei Anwendung der hen Regel zu unter. 
scheidenden Fällen entsprechen, In der Tat, aus jeder 
Annahme über p geht eine bestimmte Wahrscheinlich- 
keit — nämlich. e PT __ dafür hervor, daß in der 
Zeit 0 bis T das Ereignis Z nicht eingetreten: ist. 
Nun sei Z tatsächlich nicht eingetretent). Die Bayes- 
sche Regel gestattet dann also umgekehrt die Wahr- 
scheinlichkeit jeder Frequenzzahl zu ermitteln. Hier- 
aus kann dann weiter die Wahrscheinlichkeit bestimmt 
werden, daß die Zeit, die wir noch weiter warten 
müssen, in gegebenen Grenzen liest. Der Zusammen- 
hang wird klar sein: Ist # lange Zeit hindurch nicht 
eingetreten, kann man auf eine kleine Frequenzzahl 
schließen und von da aus weiter auf eine fernere große 
Wartezeit. Folgendes ist das Ergebnis der Rechnung: 
Ist uns bekannt, daß Z in der Zeit 0 bis 7 nicht 
eingetreten ist, so besteht die Wahrscheinlichkeit 
ap(t) dt dafür, daß die weiterhin erforderliche Warte- 
zeit zwischen t und t--dt liest und die Wahrschein- 
lichkeit W(t), daß sie größer als t ist, wo 
HOS ore 
un fa 
Endlich folgt für die wahrscheinliche Wartezeit ©, 
_d. h. eine Zeit, die eben so oft überschritten als unter- 
- schritten wird: - 
(4 
daß E die Zeit T hindurch 
darf man sein Eintreten mit 
folgenden Zeit- 
Wenn bekannt ist, 
nicht eingetreten ist, 
der Wahrscheinlichkett % in der 
strecke T erwarten. 
Sieor 
Ähnliche Betrachtungen gelten, wenn E nur zu 
diskreten Zeitpunkten möglich ist. Sei jetzt p?) die 
“Wahrscheinlichkeit, daß H bei einer dieser Gelegen- 
heiten auftritt, so ist mit der Wiahrscheinlichkeit 
(1—p) anzunehmen, daß es die ersten T-Male seit 
Beginn der Beobachtung nicht: vorkommen wird. Aus 
der Bayesschen Regel (1) folgt jetzt: Wenn E die 
ersten % Male. nieht un ist, so besteht’ eine 
Wahrscheinlichkeit: 
u: RS) 
Sir 
1) Das im vorigen Paragraphen mit € bezeichnete 
Ereignis besteht also darin, daß E in der Zeit von 
0 bis 7 nicht eintritt. { 
2) p ist also nur Werte zwischen 0 und 1 fähig, 
während p alle Werte zwischen 0 und oO annehmen 
kann. 
3) P. J. Laplace, Oeuvres VIII, S. 31 unten (setze 
g=%,n=t, p=m=)). 
M. J. Condorcet, Refl. sur la déterm. de la pro- 
babilité des 6vönements futures. Par. hist. 1783, p. 539. 
a Hertz: "Über eine _ wahrscheinlichkeitstheoretische Rechtfertigung USW, 
ET ee 
685 
\ 
daftir, daß man auf sein Eintreten mehr als weitere 
t Zeitpunkte warten muß. Als wahrscheinlichen Wert 
©* für die Zahl der noch abzuwartenden Gelegenheiten 
‚ findet man aber: 
Bet a ar 
Durch ee kommt man von (6) 
zu (4) und (5) zurück. 
§ 4. 
Gegen diese Berechnung bestehen nun verschiedene 
Bedenken. Zunächst gilt die Formel (1) nur, wenn 
die méglichen Ursachen von vorneherein dieselbe Wahr- 
scheinlichkeit haben. Ist das nicht der Fall, und sind 
4, ®2, Wz die sogenannten apriorischen Wahrschein- 
lichkeiten für A,, A,, A, d. h. diejenigen Wahr- 
scheinlichkeiten, mit denen man A,, A,, A, vor der 
Beobachtung zu erwarten hatte, so verhalten sich, 
falls nun € wirklich beobachtet wurde, die aposterio- 
rischen Wahrscheinlichkeiten für A, A, A, wie 
We. Oy :Wy.W9:%,.@g; Speziell ist die Wahrschein- 
lichkeit für We 

P= Wy WO, 
Two tu Wa +. 
Uber die apriorischen Wahrscheinlichkeiten läßt 
sich aber naturgemäß allgemein nichts aussagen. Man 
könnte etwa die apriorische Wahrscheinlichkeit von p 
als konstant ansehen‘). Eine solche Annahme erscheint 
aber durchaus willkiirlich5). Am einleuchtendsten 
wäre wohl noch die Annahme, ‚daß die apriorischen 
Wahrscheinlichkeiten für die Frequenzzahlen p an 
einer Stelle py ein Maximum besitzen und von da 
nach beiden Seiten nach dem Gaußischen Fehler- 
gesetze abfallen®). 
So würde man vielleicht für die Frequenzzahl von 
Erkrankungen, bei Beschränkung auf Einwohner einer 
Essai sur Vapplic. de Vanalyse a la probabilité des 
décisions. 
*) Dann wiirde aber, da von vornherein fiir p alle 
Werte zwischen 0 und. oO möglich sind, jedem end- 
lichen Intervall die apriorische Wahrscheinlichkeit 0 
zukommen. Entweder müßte man also das Bayessche 
Theorem anders formulieren, oder die Konstanz der 
Wahrscheinlichkeit von p nur in einem wenn auch 
noch so großen Intervall voraussetzen, außerhalb dessen 
die Wahrscheinlichkeit rasch gegen Null sänke. Diese 
Bedenken bestehen nicht gegen die Betrachtungen des 
vorigen Paragraphen, 
5) Die gleichen Bedenken würde auch die von 
Helmert (Astr. Nachr. 88, 1876) gegebene Ableitung 
des mittleren Fehlers aus dem scheinbaren Fehler 
treffen. 
In unserem Falle 
hätte man z. B. auch. die 
: : 1 Er : 
mittleren Erwartungszeiten u als a priori gleich 
wahrscheinlich ansehen können. Allerdings erhielte man 
dadurch einen unendlich großen Nenner des Bayesschen 
Quotienten. Man müßte also dann die Konstanz von 
zt auf ein endliches Intervall beschränken. 
6) Die durch dp dividierte apriorische Wahrschein- 
lichkeit dafür, daß p zwischen p und p+dp liest, 

wäre also: 
el? (p—po)? he? (p-m)® 
oma i En va ; 
if eh? (pm? ap (le pp) 
6 ur 
U 
1 2 
wo (u) = —— er" du 
(w) Reh 
0 
ist. 



