164 Auerbach: Die graphische Darstellung. 
dener Töne und Akkorde (an der Seite beigefügt) 
wieder, und Fig. 30 ist eine vom Schreibstift aus- 
geführte gedämpfte Lissajous-Schwingung von einem 
Periodenverhältnis der Komponenten wie 2:9. 
Man geht nicht zu weit, wenn man behauptet, daß 
die ganze Lehre vom Schall und den Tönen ihren 
großen Aufschwung eigentlich erst der Ausbildung 
der graphischen Methode verdankt. Ja, von hier aus 
hat die Methode auch andere Gebiete, wie die Phy- 
siologie (Blutdruck, Atmung usw.), die Musikwissen- 
schaft und ganz besonders die Phonetik befruchtet; 
und ihren vollkommensten Grad hat sie bei den- 
jenigen Apparaten erreicht, die nicht nur auf- 
zeichnen, sondern auch die akustische Wiedergabe 
erlauben: dem Phonographen und dem Grammo- 
phon, Apparaten, die, wie man weiß, neuerdings die 
Gründung von Archiven im Dienste der verschie- 
densten Zweige der Kultur-, Musik- und Sprach- 
geschichte ermöglicht haben. 
Der letzte Gegenstand unserer Betrachtungen 
führt uns aus der Ebene, in der wir uns bisher 
immer bewegt haben, hinaus in den Raum. Wenn 

eine Größe nicht bloß von einer Variabeln abhängt, 
sondern von zweien, wenn also z= f(x, y) ist, so 
müssen wir, wollen wir uns nicht wie oben in den 
Figuren 13 auf mehrere getrennte Partialdar- 
stellungen beschränken, das räumliche Achsensystem 
einführen, d. h. wie in Fig. 31, die natürlich per- 
spektivisch aufzufassen ist, in der Grundebene die 
beiden aufeinander senkrechten Achsen der x und y 
legen und die Funktionswerte z durch die Längen 
der in den betreffenden Punkten der Ebene errich- 
teten Lote charakterisieren. Bei einigermafen kom- 
plizierten Funktionen wird natiirlich eine solche 
perspektivische Zeichnung wenig übersichtlich, und 
es erhebt sich somit die neue Aufgabe: räumliche 
Modelle zu entwerfen. Diese können von zweierlei 
Art sein: entweder es werden die einzelnen Linien 
hergestellt, deren zusammenhängende Schar dann 
die Funktionsfläche bildet, oder man formt diese 
Fläche direkt. In jenem Falle erhält man ein 
Draht- oder Fadenmodell, in diesem ein Gipsmodell. 
Jene haben den Vorteil, die elementaren Erzeuger 
der Fläche vor Augen zu führen, die Fadenmodelle 
Die Natur- 
wissenschaften 
unter Umständen auch noch den weiteren, daß man | 
sie beweglich, drehbar usw. einrichten kann; die 
Gipsmodelle andererseits haben den Vorteil stetiger 
und massiver Verkörperung der Gebilde. Ein Bei- 
spiel des ersten Typus gibt Fig. 32, die die Niveau- 
und Kraftlinien eines bipolaren Feldes darstellt; 
ein Beispiel eines Gipsmodelles liefert Fig. 33, die 
Zustandsfläche eines idealen Gases, also eine Kom- 
bination der ebenen Darstellungen 13a und b mit 
Hinzufügung einer dritten Kurvenschar, der Iso- 
choren. In beiden Fällen mußte natürlich eine Be- 
grenzung gefunden, d. h. ein geeignetes Stück aus 
dem unendlichen Raume herausgeschnitten werden; 
im letzteren Falle dienten dazu zweckmäßige Grenz- 
flächen. Wo das nicht erforderlich ist, wo die Dar- 
stellung in sich abgeschlossen ist,kann man natürlich 
auch das Modell als vollständiges Ganze herstellen. 
So, was die Drahtmodelle betrifft, beispielsweise 
ein aus lauter wirr durcheinander gehenden Draht- 
schleifen bestehendes Modell der Stöße bei einem 
Erdbeben, bei den Gipsmodellen namentlich solche, | 
die sich der polaren Darstellung, aber jetzt in räum- 


Fig. 34. 
licher Verallgemeinerung, bedienen. So gibt Fig. 34 
die perspektivische Ansicht des Gipsmodells der 
Dehnungsfliche eines rhombischen Kristalls 
(Baryt), sie bildet also die räumliche Vereinigung 
der drei Schnittfiguren 16. Übrigens gibt es 
zwischen den Faden- und Gipsmodellen auch noch 
eine Zwischenstufe, die aus Flächenscharen zu- 
sammengesetzten Modelle. 
Damit haben wir freilich die Grenzen der graphi- 
schen Darstellung im engeren Sinne des Wortes 
schon überschritten und wollen daher unsere Be- 
trachtungen abschließent). 
1) Für das Gesamtgebiet der Physik habe ich die — 
graphische Methode zum ersten Male konsequent durch- 
geführt in meinem kürzlich erschienenen Buche: Physik 
in graphischen Darstellungen, Leipzig, Teubner 1912. — 
Für das Gebiet mathematischer Funktionen findet man 
zahlreiche Kurven in dem Buche von Jahnke und 
Emde, Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, Leip- 
zig, Teubner 1909. — Für die übrigen Wissenschaften 
existiert eine umfassende Darstellung meines Wissens 
noch nicht. 
