























Heft 15. | ‘ 1 Ahrens: 
eee 4. 1913 
einmal in einer Vorlesung, „die die ,,Mécanique 
analytique“ besser verstanden haben als ich; aber es 
ist manchmal kein gutes Zeichen, wenn man etwas 
. versteht.“ — Die moderne Zeit bevorzugt in der 
Mechanik, in Forschung und Lehre, keine Richtung 
_ einseitig: sie erkennt nach wie vor an, daß die Ana- 
lyse das zuverlässigste und am exaktesten arbeitende 
Werkzeug ist, aber sie trägt daneben den Bedürf- 
nissen der Technik, die oft durch einen geringeren 
Grad von Exaktheit bereits völlig befriedigt sind, 
Rechnung und sucht ihnen mit möglichst be- 
quemen, sowohl graphischen wie numerischen Me- 
thoden zu dienen; sie läßt auch die Forderung der 
Änschaulichkeit nicht außer acht und bedient sich 
der Figuren, der Modelle, auch des Experiments. 
Ein Problem der Mechanik, das der Kurve des 
schnellsten Falles (Brachistochrone), hat unter 
Eulers Händen die ersten Keime in dem Gebiete 
der Mathematik hervorsprießen lassen, das wir mit 
einem späteren Eulerschen Namen ,,Variations- 
rechnung“ zu nennen gewohnt sind. Diesen Namen 
konnte Euler erst dann in Vorschlag bringen, nach- 
dem der neunzehnjährige Lagrange ihm seine ersten 
mathematischen Untersuchungen mitgeteilt hatte. 
Wurden in ihnen doch jene zwar ingeniösen, aber 
recht umständlichen, vorwiegend geometrischen 
Infinitesimalbetrachtungen Hulers erst durch einen 
wirklichen Algorithmus, eine umfassende, auf jedes 
einschlägige Problem sofort und allgemein anwend- 
bare analytische Methode ersetzt. Der neue Caleul 
gestattete Lagrange, über den bisherigen Rahmen 
weit hinauszugehen und sogar statt der bestimmten 
Integrationsgrenzen variable anzunehmen, sowie 
auch Doppelintegrale in den Kreis seiner Unter- 
suchungen zu ziehen. Andererseits sind freilich in 
_ Lagranges Arbeiten grundlegende Fragen dieses Ge- 
bietes, vor allem die schwierige Frage, ob im ein- 
zelnen Falle das Extremum ein Maximum oder ein 
Minimum ist, kaum gestreift oder doch nicht er- 
ledigt, und in manchen fundamentalen Punkten er- 
mangelte der neue Calcul, wie eine spätere, kriti- 
schere Zeit erkannte, noch der erforderlichen 
Strenge der Beweise und der hinreichenden Prä- 
cision der Begriffe. So fanden die Mathematiker 
des 19. Jahrhunderts, in erster Linie Jacobi, der 
jungverstorbene Ludwig Scheefer und Weierstraß, 
hier ein reiches Feld vor. — Die Mechanik und 
auch andere Teile der mathematischen Physik sind 
durch die Variationsrechnung, wie bekannt, außer- 
ordentlich gefördert worden. Man braucht nur an 
die Variationsprinzipe der Mechanik zu erinnern, 
das Prinzip der kleinsten Aktion und das Hamilton- 
sche Prinzip, von denen das erste, höchst frucht- 
bare Prinzip nach einer keineswegs einwandsfreien 
und zugleich recht stürmischen Vergangenheit 
(man kennt den berühmten Streit Maupertuis’ und 
Eulers von der einen, Samuel Königs von der ande- 
ren Seite, in den dann Voltaire mit seinem Akakia- 
Pamphlet und schließlich auch Friedrich der Große 
_ eingriff) erst durch Lagrange eine präcise Fassung 
_ erhielt und von denen das zweite Prinzip latent 
_ gewissermaßen auch schon bei Lagrange vorhanden 
war, worauf es, Jacobis Wort zufolge, mehr als 
- 70 Jahre hindurch, bis zur Neubelebung und Neu- 
Joseph Louis Lagrange. 347 
gestaltung durch Hamilton, „zugleich entdeckt und 
verborgen“ blieb. Der Komplex dieser Unter- 
suchungen Lagranges, die in der Hauptsache in 
seine früheste Jugend fallen und die sowohl für 
die analytische Mechanik wie für die Ausbildung 
des Variationscaleuls von größter Bedeutung waren, 
stellen wohl überhaupt den Angelpunkt der ganzen 
wissenschaftlichen Entwickelung des großen Mathe- 
matikers dar. 
Stehen Lagranges Forschungen zur Variations- 
rechnung materiell im engsten Zusammenhange mit 
denen zur Mechanik, so haben seine algebraischen 
Untersuchungen mit jenen über Mechanik metho- 
disch das gemein, daß sich in ihnen in ähnlich 
charakteristischer Weise wie dort die Besonderheit 
des Lagrangeschen Geistes zeigt, das Suchen nach 
großen, alles beherrschenden Gesichtspunkten, das 
Bestreben, in das Chaos der verschiedenen Erschei- 
nungen und Methoden Ordnung und Licht zu 
bringen. Freilich ist der Erfolg seiner Mühen hier 
kein so vollkommener gewesen wie in der analyti- 
schen Mechanik, aber dennoch stehen Lagranges 
Untersuchungen zur Algebra, insbesondere die in 
den Memoiren der Berliner Akademie erschienenen 
„Reflexions sur la résolution algebrique des équa- 
tions“, als das bedeutendste gleichungstheoretische 
Werk des ganzen Jahrhunderts da, und Lagrange 
ist der Forscher, auf dessen Schultern vornehmlich 
die Begründer der modernen Algebra, Paolo 
Ruffini, Niels Henrik Abel und Evariste Galois, 
stehen. Indem Lagrange die älteren Methoden zur 
Auflösung der algebraischen Gleichungen dritten 
und vierten Grades unter seine kritische Lupe nahm, 
erkannte er, daß die bei diesen Auflösungen auf- 
tretenden Radikale sich rational in den Wurzeln der 
Gleichung ausdrücken lassen. Daß generell in allen 
Fällen einer algebraisch auflösbaren Gleichung die 
Auflösung sich so gestalten läßt, daß die von La- 
grange gemachte Beobachtung gilt, hat dann später 
Abel in seinem berühmten Beweis für die Unauflös- 
barkeit der allgemeinen Gleichung des fünften und 
höherer Grade gezeigt. Lagrange bildet nun umge- 
kehrt eine rationale Funktion der Wurzeln und 
untersucht — die ersten Keime der Substitutionen- 
theorie! —, wieviele verschiedene Werte der Funk- 
tion bei allen Permutationen der n Wurzeln sich 
ergeben. Daß diese Wertezahl stets ein Teiler von 
n! sein müsse (n der Grad der vorgelegten algebrai- 
schen Gleichung), erkannte Lagrange unschwer. 
Daß aber nicht alle Teiler von n! als Wertezahlen 
auftreten können, daß insbesondere 3- oder 4-wertige 
Funktionen von 5 Elementen nicht möglich sind, 
diesen für die Frage der Auflösbarkeit der allge- 
meinen Gleichung 5. Grades so wichtigen Satz ge- 
wann erst Ruffini. Mit den verschiedenen Werten 
jener rationalen Funktion als Wurzeln bildet La- 
grange dann seine Resolventen-Gleichung, deren 
Koeffizienten sich rational durch die Koetfinenten 
der vorgegebenen Gleichung darstellen lassen, und 
Lagrange erkennt nun, daß alle bekannten Auf- 
lésungsmethoden darauf hinauskommen, zu der vor- 
gegebenen Gleichung solche Funktionen der Wurzeln 
zu finden, daß die betreffende oder betreffenden 
Resolventen-Gleichungen von niederem Grade als 
