348 Ahrens: Joseph Louis Lagrange. 
die vorgegebene Gleichung sind oder sich in solche 
Gleichungen niederer Grade zerlegen lassen. Damit 
hatte Lagrange fiir das Labyrinth der zahlreichen 
verschiedenen Auflösungsmethoden den Faden der 
Ariadne gefunden. Als einen der wichtigsten Satze 
in der Theorie der Gleichungen erkannte der große 
Forscher weiter den, daß, wenn von zwei rationalen 
Funktionen der Wurzeln der Gleichung die eine 
genau bei denselben Vertauschungen der Wurzeln 
ihre Werte ändert wie die andere, die eine Funktion 
sich rational durch die andere und die Koeffizienten 
der Gleichung darstellen läßt. In diesem Satze, der 
viel später durch Galois eine allgemeinere Fassung 
erhielt, dürfen wir die ersten Keime der Galoisschen 
Theorie erblicken. So finden wir überall bei La- 
grange entscheidende und wichtige Anfänge späterer 
algebraischer Theorien. Und der Ausblick, den der 
Forscher von den erstiegenen Höhen aus in die 
terra incognita der Gleichungen des fünften und 
höherer Grade gewann? ‚Aus diesen Betrachtungen 
erhellt,“ so sagt er, „daß es äußerst zweifelhaft ist, 
ob die Methoden, von welchen wir gesprochen haben, 
zu einer vollständigen Auflösung der Gleichungen 
vom fünften Grade, und noch viel mehr der höheren 
Grade, führen können.“ 
dargetane Auflösung der allgemeinen Gleichungen 
vom fünften und höheren Graden zieht Lagrange hier 
also nicht, wenigstens nicht in unverkennbarer 
Weise, in Zweifel, wohl aber bezweifelt er sehr ent- 
schieden die Zulänglichkeit der erörterten Metho- 
den. — Auch die Besonderheit der Gleichungen, für 
die zwischen den Wurzeln gewisse einfache Relatio- 
nen bestehen, hat Lagrange — auch hier ein Vor- 
laufer Galois’ bereits erkannt, und so mußten 
ihn denn Gauß’ klassische Untersuchungen über 
die Kreisteilungsgleichung mit höchstem Ent- 
zücken erfüllen. ‚Ihre Disquisitiones“ (arithmeti- 
cae), so schrieb er dem jungen Forscher, „haben Sie 
mit einem Schlage in den Rang der ersten Mathe- 
matiker erhoben und den Inhalt des letzten Ab- 
schnitts (‚De aequationibus, circuli sectiones defi- 
nientibus“) halte ich für die schönste analytische 
Entdeckung, die seit langem gemacht ist.“ 
Es würde zu weit führen, hier auf alle sonstigen 
algebraischen Untersuchungen Lagranges näher 
einzugehen. Aber im Vorbeigehen seien wenigstens 
erwähnt seine Kettenbruchmethode zur näherungs- 
weisen numerischen Auflösung algebraischer Glei- 
chungen, seine Untersuchungen über das Vorkommen 
imaginärer Wurzeln, sein Beweis, daß jede imagi- 
“ näre Wurzel einer Gleichung sich auf die Form 
a+by-—1 bringen läßt; schließlich auch sein 
Beweis für das sogenannte ,,Fundamentaltheorem“ 
der Algebra (daß jede algebraische Gleichung mit 
einer Unbekannten wenigstens eine Wurzel besitzt). 
Freilich, dies zuletzt erwähnte Blatt in Lagranges 
Lorbeerkranze — non omnia eidem dii dedere — 
war kein unverwelkliches. Hat doch bekanntlich der 
jugendliche Heros, dem die Mathematik des nächsten 
Jahrhunderts die größten Bereicherungen verdanken 
sollte, in seiner berühmten Doktor-Dissertation 
diesen Beweis Lagranges ebenso wie alle übrigen, 
bis dahin erschienenen Beweise desselben Satzes, vor- 
nehmlich die von d’Alembert, Bougainville, Euler, 

Die später als unmöglich 
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wissenschaften 
de Foncenex, kritisch zerpflückt und sie erschüttert 
durch den Nachweis, daß sie die Wurzeln, deren 
Existenz sie dartun wollen, im Grunde in irgend 
einer Form bereits annehmen. 
Daß in der Geometrie die Theorie der Parallel- 
linien für einen Forscher wie Lagrange, der überall 
den letzten Prinzipienfragen nachzugehen bestrebt 
war, ein besonderes Interesse haben mußte, liegt auf 
der Hand. Obwohl der große Analytiker sonst 
Fragen der Geometrie nur relativ selten untersucht 
hat, so hat doch in der Tat das Parallelenaxiom ihn, 
ebenso wie seine Zeitgenossen Lambert und Legen- 
dre, sehr ernstlich beschäftigt. Die sichere Er- 
kenntnis, daß dieses Postulat nicht beweisbar und 
somit die Möglichkeit für eine von ihm freie Geo- 
metrie gegeben sei, hat bekanntlich erst Gauß als 
erster gewonnen. Andererseits hatte aber Lagrange 
die Unzulänglichkeit aller früheren Versuche, das 
Parallelenpostulat zu beweisen, sehr wohl erkannt, 
und so waren seine Bemühungen denn auf einen ein- 
wandsfreien Beweis gerichtet. Nach einer durch 
Augustus De Morgan bekannt gewordenen Erzäh- 
lung hat Lagrange am Abend seines Lebens eine Ab- 
handlung über die Parallellinien verfaßt, die er in 
der Pariser Akademie vortragen wollte. Er begann 
seinen Vortrag, hielt aber plötzlich inne und sagte: 
„Il faut que j’y songe encore,“ und damit steckte 
er seine Papiere wieder ein. Welcher Art die Be- 
denken waren, die den Abbruch der Vorlesung ver- 
anlaßten, ist nicht bekannt, doch wird man selbst von 
einem Lagrange nicht annehmen dürfen, daß er in- 
mitten jener Vorlesung plötzlich einen Fernblick in 
jenes wundersame Land tat, das erst die Mathema- 
tiker des 19: Jahrhunderts — außer dem schon ge- 
nannten Gauf sind vornehmlich die Namen von 
Lobatschefsky, Johann Bolyai, Riemann, Beltrami, 
Helmholtz, Klein, Lie, Hilbert zu nennen — ent- 
deckt, erobert und bebaut haben. 
Wir mußten, wollten wir nicht weit über den 
Rahmen eines Zeitschriftenartikels hinausgehen, 
uns auf einige der wichtigsten und charakteristisch- 
sten Forschungen Lagranges beschränken und wir 
können nur noch kurz erwähnen, daß auch auf ande- 
ren als den bisher berührten Gebieten der Mathe- 
matik der große Forscher der Wissenschaft wesent- 
liche Bereicherungen geschenkt und ihr neue Bahnen 
gewiesen hat. In der Zahlentheorie gehört Lagrange 
neben Euler und Legendre zu den bedeutendsten 
Forschern seines Jahrhunderts, und insbesondere an 
seine Untersuchungen über quadratische Formen 
haben Gauß, der die Zahlentheorie, die „Königin 
der mathematischen Wissenschaften“, wie er sie 
nannte, erst auf eine diesem königlichen Charakter 
entsprechende Höhe erhob, und ebenso der große 
Dirichlet angeknüpft. Von Lagranges Verdiensten 
aus dem weiten Gebiet der Differentialgleichungen 
heben wir kurz hervor, daß er für die Integrale der 
linearen Differentialgleichungen eine allgemeine 
Theorie schuf und daß er zuerst den Ursprung und 
den wahren Charakter des singulären Integrals einer 
gewöhnlichen Differentialgleichung und die Stel- 
lung des singulären zu dem allgemeinen Integral 
erkannte und aufdeckte. In der Infinitesimalrech- 
nung war Lagrange bestrebt, die Infinitesimal- 

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