








Heft 23. | 
6. 6. 1918 
In einem allseitig von spiegelnden Wanden um- 
schlossenen, gegen Wirmeaustausch mit der Um- 
gebung geschützten, evakuierten Hohlraum stellt 
sich, wie G. Kirchhoff erkannte, automatisch der 
stationäre schwarze Strahlungszustand her, wenn 
sich im Innern beliebige emittierende und absor- 
bierende Gebilde befinden. Die Intensität der 
Strahlung von bestimmter Frequenz v im Hohl- 
raum ist daher hier gleich dem Emissionsvermögen 
st, des schwarzen Körpers für dieselbe Frequenz. 
Die Verwirklichung des schwarzen Körpers durch 
O. Lummer, W. Wien und F. Kurlbaum und die 
experimentelle Erforschung der Strahlungsformel 
durch O. Lummer und E. Pringsheim beruhen aut 
diesem fundamentalen Satz. Auf ihn gestützt 
unternahm es M. Planck, die Energieverteilung der 
schwarzen Strahlung auch theoretisch abzuleiten, 
indem er als einfachste, mit der Elektrodynamik 
verträgliche, emittierende und absorbierende Ge- 
‚bilde lineare elektromagnetische Oszillatoren oder 
Resonatoren (schwingende Elektronen) annahm, 
‚ die nach der Art akustischer Stimmgabeln nur auf 
‚ ein schmales Frequenzgebiet der im Hohlraum be- 
findlichen Strahlung ansprechen, das in der un- 
mittelbaren Umgebung ihrer Eigenfrequenz v, liegt. 
Denkt man sich eine große Zahl N solcher von- 
einander unabhängiger Resonatoren im Hohlraum 
und über sie hinstreichend, den ganzen Hohlraum 
erfüllend, schwarze Strahlung, so tauschen die Re- 
sonatoren mit der Strahlung Energie aus, und es 
wird sich ein Gleichgewicht zwischen der Strahlung 
und den Resonatoren herstellen, bei dem erstens 
die Intensität der Strahlung einer bestimmten Fre- 
quenz v, einen gewissen Wert St, annimmt, und 
zweitens die Energie eines Resonators einen be- 
stimmten zeitlichen Durchschnittswert (Mittelwert) 
U besitzt. Zwischen diesen beiden Größen N, und 
0 
U läßt sich aus der Elektrodynamik und gewissen 
Eigenschaften der Warmestrahlung die einfache 
Beziehung herleiten 
2 
. y erg 
Kt =%-U | 
bo © em” 
| (wo e=3:.101° cm/sec die Lichtgeschwindigkeit 
‚im Vakuum bedeutet), die also aussagt, daß 
| zwischen der Intensität der Strahlung einer be- 
‚stimmten Farbe und der mittleren Energie der Re- 
| sonatoren, die gerade auf die Strahlung: dieser 
Farbe stark ansprechen, Proportionalität besteht. 
| Die Aufgabe, St, als Funktion von v, und der Tem- 

| peratur T darzustellen — und das ist ja gerade das 
Grundproblem — ist also jetzt auf die Berechnung 
der Größe U zurückgeführt, d. h. auf die Bestim- 
| mung des zeitlichen Mittelwerts der Energie eines 
Resonators, oder, was auf dasselbe herauskommt, 
| des räumlichen Mittelwertes aller N Resonatoren in 
einem Augenblick. Dieser Mittelwert läßt sich so- 
fort angeben, wenn man die Energiewerte der ein- 
: | zelnen Resonatoren kennt, d. h. wenn man die fol- 
gende Frage beantworten kann: wie verteilt sich 
| im Gleichgewichtszustand bei der Temperatur 7 
| die Gesamtenergie auf die N Resonatoren ? 
Reiche: Die Quantentheorie. 551 
Diese Frage ist ganz analoge der in der Gas- 
theorie gestellten: wie verteilt sich im thermo- 
dynamisch-statistischen Gleichgewichtszustand bei 
der Temperatur 7' die Gesamtenergie des (Gases, 
d. h. die kinetische Energie der Moleküle auf die 
einzelnen Moleküle? Die Antwort auf diese Frage 
gibt das bekannte Maxwellsche Verteilungsgesetz 
der Geschwindigkeiten; aus ihm im speziellen, und 
allgemein aus statistischen Betrachtungen von 
Boltzmann und Gibbs folet der bekannte Satz von 
der gleichmäßigen Energieverteilung (equipartition 
of energy) in der folgenden Form: im statisti- 
schen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur 
T verteilt sich die Energie auf das betrachtete Sy- 
stem ian der Weise, dab jeder unabhängige HFrei- 
heitsgrad') des Systems die gleiche mittlere Energie 
ok T (k = 1,841 -10—- erg) erhält. Sind in einem 
Raum von der Temperatur 7’ Gasmoleküle von ver- 
schiedener Masse im thermodynamischen Gleich- - 
gewicht, so hat jedes Molekül, unabhängig von 
seiner Masse, die gleiche mittlere Energie 3/s k T 
(da es 3 Freiheitsgrade besitzt). Plancksche lineare 
Oszillatoren von verschiedener Eigenfrequenz neh- 
men bei der Temperatur 7 alle die gleiche mittlere 
Energie U—=kT an, unabhängig von ihrer Higen- 
frequenz vo, denn sie haben 2 Freiheitsgrade genau 
wie linear schwingende Atome. 
Jetzt war die gestellte Aufgabe gelöst: setzte 
man den Wert k T für die mittlere Resonatorenergie 
U in die oben genannte Gleichgewichtsbedingung 
zwischen Strahlung und Resonator ein, so folgte 
für die Strahlungsintensität der Frequenz y der 
schon von Rayleigh und Jeans abgeleitete Ausdruck 
2 
. y? _ ferg 
G = kT & ) 

1 @ em? 
der also das Strahlungsgesetz des schwarzen Kör- 
pers allgemein, d. h. für alle v zwischen 0 und co 
darstellen sollte. 
Dieses Rayleigh-Jeanssche Strahlungsgesetz steht 
im grellsten Widerspruch zur Erfahrung. Für 
kleine Werte von v/T zwar (d. h. für lange Wellen 
oder sehr hohe Temperaturen) stimmt es mit den 
experimentellen Messungen gut überein; für 
größere v/T aber (d. h. für kurze Wellen oder nie- 
drige Temperaturen) weicht es immer stärker von 
ihnen ab. Während die Messungen der Strahlungs- 
4) Was man unter dem ,,Freiheitsgrad oder der 
„Bewegungsfreiheit“ eines Systems zu verstehen hat, 
und wie man die Zahl der Freiheitsgrade eines Systems 
bestimmt — deren Kenntnis ja bei der Anwendung des 
Satzes von der gleichmäßigen Energieverteilung not- 
wendig ist —, sei im folgenden erläutert. Ein Punkt, 
der nur kinetische, keine potentielle Energie besitzt und 
sich z. B. längs einer Geraden, also nur in einer 
Dimension, frei bewegen kann, hat einen Freiheitsgrad; 
kann er sich auf einer Fläche bzw. im Raum frei be- 
wegen, so hat er zwei bzw. drei Freiheitsgrade, ent- 
sprechend den zwei bzw. drei Dimensionen von Fläche 
bzw. Raum. Ist aber der auf einer Geraden bewegliche 
Punkt elastisch gebunden, so daß er etwa Schwingun- 
gen ausführt, so besitzt er neben der kinetischen Energie 
auch potentielle Energie und wir müssen zu seinem 
kinetischen Freiheitsgrad noch einen potentiellen Frei- 
heitsgrad hinzufügen. Entsprechend hat auch der im 
Raum schwingende Punkt 6 Freiheitsgrade: 3 kinetische 
und 3 potentielle. 
