678 Besprechungen. 
dürften dem Anfänger nur schwer verständlich sein. 
Ks soll nicht verkannt werden, daß die Verfasser hier 
bemüht sind, den lernenden Ingenieur mit vielen ab- 
strakten mengentheoretischen und axiomatischen Begrif- 
fen der neueren Mathematik bekannt zu machen; jedoch 
scheint, von pädagogischen Bedenken ganz abgesehen, 
die wenig pointierte Art der Darstellung ungeeignet, 
dem Leser wirklich Verständnis und Überblick zu ver- 
mitteln. 
Einen erheblichen Teil des Raumes nimmt in dem 
Buche das Kapitel über den Funktionsbegriff ein. 
124 Seiten scheinen den Verfassern nötig, um diesen 
Begriff zu erläutern, ein großer Raum, wenn man er- 
wägt, daß die Verfasser sich einen mathematisch nicht 
ganz ungebildeten Leser vorstellen. Der größte Teil 
dieses Kapitels ist der graphischen Darstellung von 
Funktionen gewidmet, die an überaus vielen Beispielen 
erläutert wird. Hier sind die Verfasser in ihrem Ele- 
ment. Leider gilt dies nicht so für ihre übrigen Dar- 
legungen, in denen man zuweilen, wie z. B. bei der 
unzutreffenden Definition der algebraischen Funktionen 
auf S. 126, eingehende Kenntnis zum mindesten des 
üblichen mathematischen Sprachgebrauches vermißt. 
Noch viel schwerwiegendere Einwände müssen jedoch 
gegen die Ausführungen der folgenden Kapitel er- 
hoben werden. 
Das Kapitel über Stetigkeit beginnt mit einem Para- 
graphen über „Unendlich kleine, unendlich große und 
endliche Zahlen und Größen“. Nach einigen allge- 
meinen Betrachtungen werden unendlich kleine Zahlen 
definiert als solche, die kleiner sind, als jede noch so 
kleine endliche Zahl, ohne Null zu sein (S. 240), oder 
als solche, die „kleiner als jede beliebig kleine endliche 
Zahl sind und Mich der Null, fortwährend kleiner wer- 
dend, nähern‘ (S. 241). Leider sind derartige Begriffe 
und Definitionen durchaus nicht geeignet, „das Bewußt- 
sein zu erzeugen, daß man es hier mit einer sicher fun- 
dierten Wissenschaft zu tun hat“, ja man darf wohl 
sagen, daß es sich hier um Worte handelt, denen mathema- 
tisch klare Begriffe nicht entsprechen. Es nimmt daher 
auch nicht wunder, wenn die Verfasser auf Grund dieser 
Definitionen gelegentlich mit sich selbst in Widerspruch 
geraten, so z. B., wenn sie auf S. 242, Anm. 2 als Bei- 
spiel einer unendlich kleinen Größe das Volumen eines 
Staubkörnchens dividiert durch das der Erde anführen, 
also eine, wenn auch kleine, so doch gewiß nach ihrer 
Definition endliche Zahl. 
Es wäre um die höhere Mathematik schlecht bestellt, 
wenn sie wirklich zu ihrem Aufbau des Begriffes der 
unendlich kleinen Größe bedürfte; das mystische Hell- 
Dunkel, welches der Außenstehende in den Vorhallen 
dieser Wissenschaft grundlos fürchtet, wäre dann Wirk- 
lichkeit. Glücklicherweise darf die höhere Mathematik 
sich rühmen, bis in ihre ersten Grundlagen sonnen- 
klar und frei von jeder geheimnisvollen Mystik zu sein. 
Sie bedarf zu ihrem klaren und folgerichtigen Aufbau 
nur eines einzigen, jedermann verständlichen Begriffes: 
des Grenzwert-Begriffes. Schon auf der Schule pflegt 
man heute den Schüler mit diesem Begriffe vertraut zu 
machen. Es hat dann für den Ingenieur nicht die ge- 
ringste prinzipielle Schwierigkeit, von hier aus den Ein- 
gang in die Differential- und Integral-Rechnung zu 
finden.  Differentialquotient und Integral sind zwei 
Begriffe, die so ohne jede Unklarheit eingeführt wer- 
den können und müssen, und die „unendlich kleinen“ oder 
„unendlich großen“ Größen können hier ganz aus dem Spiele 
bleiben. Allerdings kann es im Sinne einer Approxi- 
mationsmathematik für den Praktiker zweckmäßig sein, 
Größen, die er wegen außerordentlicher Kleinheit in der 
technung vernachlässigen darf, als „unendlich klein“ zu 
bezeichnen. Doch ist diese Bezeichnungsweise und alle 
















































[ Die Nata 
wissenschafte n 
weiteren daran ankniipfenden Operationen fiir den A 
finger eine leicht verhängnisvolle Quelle von Unkla 
hörten Mißverständnissen und Fehlern. In einem Buche 
wie dem vorliegenden, das dem Lernbegierigen eine so 
lide Einführung in die Grundlagen geben will, hätte d 
her der Begriff des „Unendlich Kleinen“ nicht an die 
Spitze gestellt werden dürfen. Dieser prinzipielle Grund- 
fehler des Buches macht sich naturgemäß in der weiteren 
Ausführung geltend. Nachdem die Verfasser eine Reihe von #) 
Rechenregeln für ihre unendlich kleinen und unendlich 
großen Größen abgeleitet haben, die den Leser kaum über | 
diese mysteriösen Dinge aufklären dürften, verlassen sie die 
eingeschlagene Bahn plötzlich, um sich der Erörterung 
des Grenzbegriffes und des Stetigkeitsbegriffes zuzuwen- 
den. Das Unendlich Kleine spielt hier keine wesentliche 
Rolle, und wie es scheint, sind auch die Verfasser der 
Ansicht, daß es völlig überflüssig ist. Das’ macht aller- 
dings die Inkonsequenz des Buches um so fühlbarer. In den 
außerordentlich breiten, über 100 Seiten langen Aus 
einandersetzungen dieses Kapitels vermißt man durch- 
aus einen konsequenten, klaren, der Einfachheit der be- 
sprochenen Dinge angemessenen Gedankengang. 
Nimmt man hinzu, daß in diesen Betrachtungen auch 
einige sonderbare mathematische Entgleisungen vorkom- 
men —, so z. B. die im Widerspruch zu en Defini 
tionen stehende Behauptung, daß Boe (© + cos x) nicht 

£ c= 
unendlich ist, (S. 295) — so drängt eich dem Kritiker 
die Vermutung auf, daß die Verfasser nicht die nötige 
Zeit haben finden können, um ihre vielseitigen Kennt- 
nisse in den Grundbegriffen der höheren Analysis in 
ein sachlich einwandfreies und pädagogisch brauchbares 
Gewand zu kleiden, 
Diese Vermutung wird durch das folgende Kapite 
bestätigt, dessen Titel: „Differential und Integral 
schon befremdet. Das Kapitel beginnt, wie das auch nich 
anders sein kann, mit der Betrachtung des Differential; 
quotienten; doch folgt sogleich ein Paragraph, in dem 
mit Differentialen in recht bedenklicher und wider: 
spruchsvoller Weise operiert wird. Im einzelnen gilt fü 
dieses Kapitel ähnliches, wie für das vorangehende; 
erübrigt sich daher eine weitere Besprechung, die hieı 
keine neuen Gesichtspunkte liefern würde. 
Ganz abgesehen von allen diesen Bedenken gegen den 
Inhalt des Buches muß die Kritik noch hervorheben, wit 
viel von unentbehrlichem Wissensstoff es nicht enthält 
Es soll zwar nicht verkannt werden, daß das Buch nur 
den ersten Band eines größeren Werkes darstellen soll 
und daß man vielleicht vom zweiten Band eine teilweist 
Beseitigung dieses Mangels erwarten darf. Aber in 
Gestalt, in der das Buch vorliegt, ist das, was der Leset 
daraus lernen kann, sehr wenig. Er muß, wenn er da 
historische Schlußkapitel liest, erstaunt fragen, wozt 
denn so viele Leute sich mit den Gegenständen de 
Buches beschäftigt haben; denn er wird nach der Lek 
türe des Buches kaum den Eindruck haben, daß es nütz 
liche und fruchtbare Dinge sind, die hier abgehandelt 
worden sind. : 
Es gibt eine große Reihe von „populären“ Lehr 
büchern der Differential- und Integralrechnung, die 
nicht von berufener Hand geschrieben, geeignet sin 
falsche und unklare Vorstellungen über diese Wissen 
schaft zu verbreiten, und vor denen man besonders det 
Autodidakten warnen sollte. Von dieser Kategorie von 
Lehrbüchern unterscheidet sich das vorliegende durch 
ausgebreitetere Literaturkenntnis seiner Verfasser und 
deren Bestreben nach wissenschaftlicher Gründlichkeit. 
Es wird jedoch nach dem oben Angeführten einer völli- 
gen Umarbeitung bedürfen, wenn es für den von den Ver: 
fassern betonten Zweck wirklich brauchbar werden soll, 
R. Courant, Göttingen. 
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