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29. 8. 1913 
Euklid eine rein geometrische Bedeutung habe, ob- 
wohl er gewöhnlich analytisch auf Zahlengrößen 
bezogen wird!). Dieser Satz ist nichts anderes als 
eine Definition der Gleichheit geometrischer Fi- 
-guren, die nicht direkt aufeinander gelegt werden 
können. Wie schwerfällig waren andererseits die 
Griechen, sobald sie sich auf dem Gebiet des rein 
Rechnerischen bewegen sollten. Ihr ausgeprägter 
Sinn für das Formale, ihr Streben nach Strenge des 
Beweises, das sie oft uns unnatürlich erscheinende 
Umwege einschlagen ließ, war die Veranlassung, 
daß man häufig ihre Begabung als rein spekulativ 
bezeichnet hat. Hier scheint mir jedoch, daß von 
einer typischen Begabung nicht gesprochen werden 
kann, daß vielmehr ein weit tieferer Grund für die 
so verschiedenwertigen Leistungen in den beiden 
Gebieten der Mathematik vorliegt. Für das Er- 
kennen von der Entwicklung der Naturwissenschaf- 

ten ist die Trennung der Mathematik bei den Grie- 
chen von größerer Bedeutung, als es bisher ange- 
nommen wurde. 
Versuchen wir es, uns über die Reihenfolge der 
Schwierigkeiten klar zu werden, die sich bei der 
Beobachtung und Frforschung der Natur der 
Menschheit entgegengestellt und eine verschiedene 
Entwicklung der einzelnen Wissenszweige bewirkt 
haben, so finden wir, daß wir auf Grund der 
bisherigen Klassifikationsprinzipien nicht zu einer 
tieferen Einsicht gelangen können. Wir stellen die 
exakten Wissenschaften, die sich der Hilfe der 
Mathematik bedienen, nämlich die Physik und 
Chemie den beschreibenden Wissenschaften wie Bo- 
tanik und Zoologie gegenüber. Der Mathematik in 
ihrer Gesamtheit aber wird die Rolle einer Hilfs- 
wissenschaft zugewiesen. Eine solche Klassifizie- 
rung gestattet jedoch eine natürliche Erklärung der 
allmählichen Entwicklung der Wissenschaft nicht, 
sondern zwingt dazu, wie dargelegt, mit impondera- 
blen Annahmen von speziellen Begabungen zu ar- 
beiten. Bei allen Völkern aber hat sich mit zu- 
nehmender Kultur der Verstand stetig in der 
Richtung vom Einfachen zum Komplizierten ent- 
wickelt. Wohl haftet jeder Klassifizierung eine ge- 
| _ wisse Willkür an, wohl treten dabei stets die Inter- 
essen der Zeit, in der diese Klassifizierung vor- 
genommen wird, in den Vordergrund. Wir jedoch 
haben, wenn wir im folgenden eine andere Ein- 
teilung zugrunde legen, nicht nur den Vorzug, daß 
wir die notwendige und natürliche Entwicklung 
| unserer Kenntnisse klar zu übersehen vermögen, 
wir sind auch zu dieser Einteilung dadurch berech- 
tigt, daß die Griechen, wenn auch unbewußt, den- 
selben Weg gegangen sind. Trennen wir einmal die 
unter dem Namen Mathematik vereinigten Wissen- 
schaften, die Geometrie und Stereometrie, die ich 
die anschauliche Mathematik nennen will, von der 
Arithmetik, betrachten wir die anschauliche Mathe- 
matik für sich und definieren wir sie als die Lehre 
von der Gestalt der Körper, dann kommen wir zu 
einer ganz anderen Auffassung von der Einteilung 
unseres Wissensstoffes, die den Vorzug hat, daß 
1) Lindemann, Vorlesungen über Geometrie unter Be- 
| nutzung der Vorträge von Alfred Clebsch. II, 1, 8. 555. 
Arnold: Die Entwicklung unserer Naturerkenntnis. 
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wir die verschiedenen Schwierigkeiten bei der Er- 
forschung der einzelnen Gebiete klar erkennen 
können, weil wir den historischen und gleichzeitig 
weit natürlicheren Weg gehen. Wir teilen danach 
das Studium der Natur, wie folgt, ein: 
1. Die Lehre von der Gestalt der Körper (Geo- 
metrie und Stereometrie) oder anschauliche Mathe- 
matik, 
2. die Lehre von der Bewegung der Körper 
(Physik), 
3. die Lehre von der stofflichen Zusammen- 
setzung der Körper (Chemie). 
Bei allen drei Teilen der Naturwissenschaft 
stehen die Erscheinungen untereinander in zahlen- 
mäßiger Beziehung und müssen sich daher der 
Arithmetik, das ist der unanschaulichen Mathematik 
als Hilfswissenschaft bedienen. 
Bevor wir jedoch auf die drei Kategorien näher 
eingehen, müssen wir unser Prinzip noch etwas 
genauer betrachten und zusehen, wieweit es sich mit 
unseren heutigen Anschauungen in Einklang be- 
findet. Zwischen der einfachen Auffassung, wie wir 
sie zur Erklärung der Entwicklung unserer Natur- 
erkenntnis bedürfen, und unserer heutigen An- 
schauung, wie wir sie bei Helmholtz, Mach,- Poincaré, 
Ostwald und Planck finden, liegt eine ungeheure 
Entwicklungsreihe. Für unseren Verstand besteht 
heute zwischen der anschaulichen Mathematik und 
den Naturwissenschaften im engeren Sinne ein er- 
heblicher Unterschied, der uns zeigt, was die Geo- 
metrie und Stereometrie mit der Arithmetik ver- 
bindet. Während wir in der Physik und Chemie 
von der Erfahrung ausgehen müssen, haben wir in 
der Mathematik die Möglichkeit der Konstruktionen. 
Obwohl uns zweifellos bei der Aufstellung der geo- 
metrischen Axiome die Erfahrung geleitet hat, 
können wir hier eine Wissenschaft schaffen, in 
welcher der Verstand souverän herrscht. Er kann 
in der Mathematik befehlen, in der Natur nicht. 
Für uns aber, die wir die verschiedene Entwicklung 
der einzelnen Wissenschaften von Anbeginn mensch- 
licher Forschung an verstehen, und die wir die 
Gegenwart aus der Vergangenheit heraus begreifen 
wollen, ist die Frage noch nicht aktuell, ob die 
geometrischen Axiome sich auf das Prinzip des 
Widerspruchs zurückführen lassen, ob sie aus der 
Erfahrung geschöpft sind, ob sie synthetische Urteile 
a priori sind, oder ob sie, was wir seit den Forschun- 
gen von Gauß, Lobatschewsky, Beltrami, Riemann 
und Poincaré glauben annehmen zu können, ver- 
kleidete Definitionen sind. Uns interessiert ledig- 
lich die Gestalt der Körper, wie sie in der Natur zu 
schen sind. 
Dieselbe Richtung ist auch für den zweiten 
Punkt maßgebend, den wir jetzt besprechen wollen. 
Bei der physikalischen oder chemischen Änderung, 
die ein System erleidet, interessieren heute. nicht 
mehr die Beschreibungen der dabei auftretenden 
Erscheinungen, sondern vielmehr die Ursachen, die 
diese Erscheinungen bewirken und ihre Berechnung 
gestatten. Leonardo da Vinci hat dies schon deut- 
lich ausgesprochen. „Keine Wirkung in der Natur 
ist ohne Ursache, begreife die Ursache, und 
