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23. 3. 1917 
| ten. In der Tat gelangt die spezielle Relativi- 
‚ tätstheorie zu ihren Gleichungen, indem sie sie 
so einrichtet, daß sie für geringe Geschwindig- 
keiten in die Gleichungen der gewöhnlichen Phy- 
sik übergehen. In der allgemeinen Theorie ist 
nun die Relativität der Längen und Zeiten eine 
noch viel weitergehende; eine Stablänge wird in 
ihr z. B. auch vom Ort und von der Orientierung 
abhängen können. Um nun überhaupt einen Aus- 
gangspunkt, ein 4os wou noö ov zu gewinnen, 
werden wir nun natürlich die Kontinuität mit der 
bisher bewährten Physik aufrecht erhalten und 
demgemäß annehmen, daß jene Relativität für 
ganz minimale Änderungen verschwindet. Wir 
werden also die Länge eines Stabes so lange als 
konstant betrachten, als sein Ort, seine Orien- 
tierung und seine Geschwindigkeit nur um ein 
geringes sich ändert — m. a. W., wir setzen fest, 
| daß in unendlich kleinen Bereichen und in einem 
| solehen Bezugssystem, in welchem die betrachte- 
ten Körper keine Beschleunigung besitzen, die 
spezielle Relativitätstheorie gilt. Da die spezielle 
Theorie sich der Euklidischen Maßbestimmungen 
bedient, so liegt darın die Annahme eingeschlos- 
sen, daß in bezug auf die gekennzeichneten 
Systeme die Euklidische Geometrie im unendlich 
Kleinen gültig bleiben soll. (Ein solcher „unend- 
lich kleiner“ Bereich kann immer noch groß sein 
im Vergleich mit den Dimensionen, die sonst. für 
die Physik in Betracht kommen.) Die Gleichun- 
gen der allgemeinen Relativitätstheorie müssen 
für den angegebenen Spezialfall in diejenigen der 
speziellen Theorie übergehen. Damit ist nun 
eine Idee zugrunde gelegt, welche Messung er- 
möglicht, und wir haben die Voraussetzungen 
überschaut, von denen mian zur Lösung der im all- 
gemeinen Relativitätspostulat gestellten Aufgabe 
gelangen kann. 
VII. Aufstellung und Bedeutung des Grund- 
gesetzes der neuen Theorie. 
Gemäß den letzten Bemerkungen begeben wir 
uns ins unendlich Kleine und wählen dort ein 
dreidimensionales Euklidisches Koordinaten- 
system so, daß die zu betrachtenden Körper in 
bezug auf dieses keine merklichen Beschleunigun- 
gen besitzen. Diese Wahl kommt dann der Einfüh- 
rung eines bestimmten vierdimensionialen Koordi- 
natensystems fiir das betreffende Gebiet gleich. 
Wir fassen nun in diesem Gebiet irgend ein Punkt- 
ereignis ins Auge, also einen Weltpunkt A des 
Raum-Zeit-Kontinuums, dessen Koordinaten in 
unserem lokalen System Xı, Xe, Xs, X, sein 
_ mögen, wo nun X,, Xs, X3 in der gewohnten Weise 
durch wiederholtes Anlegen eines kleinen Ein- 
_heitsmaBstabes gemessen werden, und der Wert 
von X, durch Uhrenablesung bestimmt wird. Ein 
zeiträumlich unendlich benachbartes Punktereig- 
nis möge durch den Weltpunkt B repräsentiert 
werden, dessen Koordinaten sich von denen des 
Punktes A um die Werte dX,, dXe, dX;, dX, 
unterscheiden. Der „Abstand“ der beiden Welt- 
Schliek: Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik. 183 
punkte ist dann gegeben durch die bekannte ein- 
fache Formel 
sat eid AN 2-40. 
Dieser „Abstand“, das Linienelement der die 
beiden Punkte A und B verbindenden Weltlinie. 
ist natürlich im allgemeinen keine Raumstrecke, 
sondern hat, da es eine Verbindung von Raum- 
und Zeitgrößen ist, die physikalische Bedeutung 
eines Bewegungsvorganges, wie wir uns das ja bei 
der Einführung des Weltlinienbegriffs klarge- 
macht haben. Der Zahlenwert von ds ist immer 
derselbe, welche Orientierung auch das gewählte 
lokale Koordinatensystem haben möge. 
(Die spezielle Relativitätstheorie gibt über die 
Bedeutung von ds näheren Aufschluß. Ist z. B. 
ds? negativ, so kann man, lehrt sie, es durch ge- 
elgnete Wahl der Koordinatenrichtungen er- 
reichen, daß ds’ = — dX,? wird, während die drei 
andern dX verschwinden. Dann besteht also 
zwischen den beiden Weltpunkten kein Unter- 
schied ihrer Raumkoordinaten, die ihnen entspre- 
chenden Ereignisse finden mithin in jenem System 
an demselben Orte, aber mit der Zeitdifferenz dX, 
statt. Man nennt daher ds in diesem Falle ,,zeit- 
artig“. Dagegen nennt man es „raumartig“, wenn 
ds” positiv ist; denn in diesem Falle lassen sich 
die Koordinatenrichtungen so wählen, daß dA, 
verschwindet, die beiden Punktereignisse finden 
dann also für dies System zur gleichen; Zeit statt, 
und ds gibt ihre räumliche Entfernung an. 
ds = 0 endlich bedeutet eine Bewegung mit Licht- 
geschwindigkeit, wie man leicht sieht, wenn man 
für dX, seinen Wert e.dt einsetzt.) 
Jetzt führen wir irgendwelche neuen Koordi- 
naten a4, V, X, X ein, die ganz beliebige Funk- 
tionen der Xı, Xo, X3, X, sein mögen; d. h. wir 
gehen von unserm lokalen System nunmehr zu 
einem beliebigen andern über. Dem „Abstand“ 
der Punkte A und B entsprechen in diesem neuen 
Systeme gewisse Koordinatendifferenzen day, diz, 
da3, day, und die alten Koordinatendifferenzen dA’ 
lassen sich durch die neuen dx mit Hilfe elemen- 
tarer Formeln der Differentialreehnung aus- 
drückent). Setzt man die so erhaltenen Aus- 
drücke der dX in die obige Formel für das Linien- 
element ein, so erhält man den Wert derselben in 
den neuen Koordinaten ausgedrückt in der Ge- 
stalt: 
ds? = gy dey? + goo day + 93; da 
+ gy deet 2 G,.d4,d% +2 gi3da,daz+...? 
also eine Summe von 10 Gliedern, in der die 10 
Größen g gewisse Funktionen der Koordinaten x 
1) Es ist nämlich 


aX= Geta % + 5 oe 10+ 53 Fade + am 
KT) ur Be 0%, OX 1 R- 
I = 5, iti tag Itt oe da 3+ 5 aw, 
UBW 
