184 Schlick: Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik. 
sind!). Sie hängen nicht von der besonderen Wahl 
des lokalen Systems ab, denn der Wert von ds’ 
war ja von selber davon unabhängig. 
Als Riemann und Helmholtz die dreidimen- 
sionalen nicht-Euklidischen Mannigfaltigkeiten un- 
tersuchten, sprachen sie von den im obigen Aus- 
druck für das Linienelement auftretenden Fak- 
toren g als rein geometrischen Größen, durch 
welche die Maßeigenschaften des Raumes be- 
stimmt würden. Sie wußten aber wohl, daß man 
von Messen und vom Raume ohne physikalische 
Voraussetzungen nicht gut reden kann. Helm- 
holtz’ Worte haben wir oben bereits zitiert; hier 
sei nur noch auf die Ausführungen von Riemann 
am Schlusse seiner Habilitationsschrift hingewie- 
sen (Werke S. 268). Er sagt dort, bei einer steti- 
gen Mannigfaltigkeit sei das Prinzip der Maßver- 
haltnisse nicht schon in dem Begriff dieser Man- 
nigfaltigkeit enthalten, sondern es müsse, „anders 
woher hinzukommen“, es sei in „bindenden Kräf- 
ten“ zu suchen, d. h. der Grund der Maßverhält- 
nissa muß physikalischer Natur sein. Wir wissen 
ja: Betrachtungen der metrischen Geometrie wer- 
den erst sinnvoll, wenn man die Beziehungen zur 
Physik nicht aus den Augen verliert. Jene g ge- 
statten also nicht nur, sondern fordern direkt eine 
physikalische Interpretation. In Einsteins allge- 
meiner Relativitätstheorie erhalten sie eine solche 
ohne weiteres. 
Um nämlich die Bedeutung der g zu erkennen, 
brauchen wir uns nur den physikalischen Sinn 
der soeben besprochenen Transformation von dem 
lokalen System auf das allgemeine zu ver- 
gegenwärtigen. Das erstere war dadurch 
definiert, daß ein sich selbst überlassener 
materieller Punkt sich im Raume der X1, Xo, 
X, geradlinig-gleichförmig bewegen sollte; seine 
Weltlinie — d. h. das Gesetz seiner Bewegung — 
ist also eine vierdimensionale Gerade?), deren 
Linienelement gegeben ist durch 
d So dX 4? = dX >? Ar dX3? == dX 2. 
Transformieren wir nun auf die neuen Ko- 
ordinaten %ı, X, 73, Xa, so heißt dies: wir betrach- 
ten denselben Vorgang, dieselbe Bewegung des 
Punktes von irgend einem anderen System aus, 
in bezug auf welches das lokale sich natürlich in 
irgend einem Beschleunigungszustand befindet. 
In dem Raums der xı, x2, x3 bewegt sich daher der 
Punkt krummlinig und ungleichförmig; die Glei- 
chung seiner Weltlinie, d. h. sein Bewegungs- 
1) Es bedeutet nämlich, wie man durch Ausführung 
der beschriebenen Operationen leicht findet, 
=) +) +) - 



0%, 0X, Oxy Oxy 
ol OX 4 OX OX | OXON 0X ON 
Sum OW) Oy | 0x 00 | 0 Oley or 
usw. 
?) Ihre Gleichung, als 
(geodätischen) Linie, lautet: 
(fos) 
Gleichung der kiirzesten 
_dar; die Faktoren g sind mithin die Größen, — 




. 
Indie Natur 
wissenschafte 
gesetz, ändert sich insofern, als ihr Linienelement, 
in den neuen Koordinaten ausgedrückt, nunmehr 
gegeben ist durch 2 ; 
d2—guda? rt: . 2. rge da de ee 3 
Nun entsinnen wir uns des „Äquivalenzprin- — 
zips“ (S. 179). Nach ihm ist die Aussage „ein sich 
selbst überlassener Punkt bewegt sich mit ge- 
wissen Beschleunigungen“ identisch mit der Aus- 
sage „der Punkt bewegt sich unter dem Einfluß — 
eines Gravitationsfeldes“. In den neuen Koordi- 
naten stellt also die Gleichung der Weltlinie die 
Bewegung eines Punktes im Gravitationsfelde 














































durch welche dieses Feld bestimmt ist. Sie spie- 
len, wie man sieht, eine analoge Rolle wie das 
Gravitationspotential in der Newtonschen Theorie, 
und man kann sie daher auch als die 10 Kompo- 
nenten des Gravitationspotentials bezeichnen. | 
Die Weltlinie des Punktes, die für das lokale” 
System eine Gerade war, also die kürzeste Ver- 
bindungslinie zwischen zwei Weltpunkten, stellt 
in dem neuen System der a .. 2 gleichfalls 
eine kürzeste Linie dar, denn die Definition der ~ 
geodätischen Linie ist unabhängig vom Koordi- — 
natensystem. Streng genommen dürfen wir die © 
Weltlinie im lokalen System nur für einen unend- 
lich kleinen Bereich betrachten. Aber nun 
stützen wir uns wieder auf das Kontinuitäts- — 
prinzip und sehen dia auf dem beschriebenen 
Wege gewonnene Bewegungsgleichung als allge- — 
meingültig an. Damit ist dann das gesuchte 
Grundgesetz gefunden. Während das Trägheitsge- — 
setz von Galilei und Newton lautete: ,,Ein kräfte- 
freier Punkt bewegt sich geradlinig-gleichförmig“, — 
lautet. das Einsteinsche Gesetz, welches Trägheits- ~ 
und Gravitationswirkungen in sich begreift: „Die 
Weltlinia eines materiellen Punktes ist eine © 
geodätische Linie im Raum-Zeit-Kontinuum“. — 
Dieses Gesetz erfüllt die Bedingung der allge 
meinen Relativität, denn es ist beliebigen Trans- — 
formationen gegenüber kovariant, weil die geo- 
dätische Linie unabhängig vom Bezugssystem — 
definiert ist. 
Noch einmal sei hervorgehoben, daß die 
Koordinaten a; .. x Zahlenwerte sind, welche 
Ort und Zeit bestimmen, nicht aber die Be- 
deutung von auf gewöhnlichem Wege meßbaren 
Strecken und Zeiten haben. Das ,,Linien- — 
element“ ds dagegen hat unmittelbar physi- 
kalischen Sinn und läßt sich direkt durch Maß- 
stäbe und Uhren ermitteln. Es ist ja definitions- 
gemäß vom Koordinatensystem unabhängig; wir 
brauchen uns also nur in das lokale System der 
Xı .. Xı zu begeben, und der darin für ds er- 
mittelte Wert gilt dann allgemein. 
Damit sind diejenigen Schritte vollzogen, die 
von allgemeiner erkenntnistheoretischer Bedeu- 
tung und für die Auffassung von Raum und Zeit 
in der neuen Lehre grundlegend sind, und die uns — 
hier interessieren. Für Einstein waren sie nur 
die Vorbereitung zu der physikalischen Aufgabe, 
