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interessiert, das aber nicht sein Problem ist. Vom 
Jogisch-mathematischen Standpunkte aus sind die 
geometrischen Gebilde von der Wirklichkeit im 
Vaihingerschen Sinne gänzlich unabhängig. Die 
rundgebilde unter ihnen — Punkt, Gerade, 
bene — sind gegeben, und zwar dem Mathema- 
tiker in genau demselben Sinne gegeben, wie dem 
Physiker die Körper gegeben sind, mit denen er 
arbeitet. Hilbert hätte sein grundlegendes Bucht) 
nicht so zu beginnen brauchen: „Wir denken drei 
verschiedene Systeme von Dingen: Die Dinge des 
ersten Systems nennen wir Punkte ,,. ; die Dinge 
des zweiten Systems nennen wir Gerade..., die 
Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen.“ Er 
konnte. einfach sagen: Es gibt Punkte, Gerade, 
Ebenen. Die geometrischen Gebilde sind eindeu- 
tige, originelle Gebilde, die eine Eigenwirklichkeit 
besitzen. Man kann sie (und die Zahlen) mit 
Külpe’) zu der Klasse der idealen Gegenstände 
rechnen... Vom logisch-mathematischen Stand- 
punkte aus haben sie ‚gar keine Beziehung zur 
Wirkliehkeit: im. populären Sinne. - Sie können 
also auch dieser Wirklichkeit nicht widersprechen. 
Ob es eine Fläche in dieser Wirklichkeit gibt oder 
nicht, ist dem Mathematiker höchst gleichgültig; 
denn er befaßt sich mit ihr überhaupt nicht, son- 
dern er arbeitet in dem eigenartigen, selbständigen 
Wirklichkeitsbereich der mathematischen Objekte. 
Wie unabhängig die Geometrie von der sinnlichen 
Anschauung, von der Vaihingerschen Wirklich- 
keit ist, ergibt sich indirekt daraus, daß sie sich 
aus beliebigen Gebilden als Grundgebilden auf- 
bauen läßt, die nur dieselben gegenseitigen Be- 
ziehungen haben. müssen wie Punkt, Gerade und 
Ebene der gewöhnlichen Geometrie, Nun ist die 
Zahl das einzige Gebilde, das am radikalsten von 
allen sinnlichen Eigenschaften abstrahiert. Für 
den Arithmetiker bin ich eine 1, so gut wie Vai- 
hinger eine 1 und sein Buch eine 1 ist. So weist 
die erwähnte Tatsache auf die moderne analytische 
Grundlegung der Geometrie, die Arithmetisierung 
der Geometrie hin. Für sie ist der Punkt ein 
System von n geordneten Zahlen a, 2, %3 ....,%,. 
Die Ebene ist der Inbegriff aller Punkte, die der 
Gleichung 
GQ, L, + Gy Ly + Rt dn Ent An teen) 
genügen, wo die @,, do, ...., G41. numerische 
Koeffizienten sind, die nicht alle gleichzeitig Null 
werden dürfen. Der Raum :st ein n-dimenstonales 
Zahlenkontinuum usw. In der Möglichkeit einer 
solchen Geometrie liegt die gründlichste Abwehr 
der Vaihingerschen Auffassung. 
Auch die Zahlen enthalten nach Vaihinger 
einen Widerspruch gegen die „Wirklichkeit“. 
»,.Wenn ich einen Haufen Steine zusammenfasse 
‘und zähle und diese Summe als Einheit betrachte 
und ihr etwa den Namen zehn gebe, so habe ich 
dazu im Äußeren eigentlich keine direkte Veran- 
er 
4) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie ?, Leipzig 
1903, 8. 2. 
2) O. Külpe, Die Realisierung, J. Bd., Leipzig 
1912, 8. 13. 

Müller: Die Fiktion in der Mathematik und der Physik. 
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lassung. Und es ist eine Willkür, diese getrennte 
Steinmenge so zu betrachten, - als ob sie Eines 
wäre, und diese Einheit sogar noch durch einen 
Namen zu hypostasieren. Auch das Zählen beruht 
also, wie wir sehen, auf einer Fiktion, wenn 
auch auf einer sehr unschuldigen: auf der Fik- 
tion, das Getrennte so zu betrachten, als ob es 
Eins wäre. Darum sind auch alle Zahlen als Pro- 
dukt dieses fiktiven Prozesses etwas rein Fik- 
tives“t). 
Dazu ist vielerlei zu bemerken. Erstens kann 
man es mit Recht bestreiten, daß der Steinhaufen 
keine Einheit?) sei. Sogar wenn die Steine nicht 
in einem Haufen, sondern regellos unter anderen 
zerstreut lägen, würde der Zweck, weshalb man 
sie zählt, sie zu einer Einheit machen. Wie sie 
physikalisch als eine Einheit wirken können, 
wenn sie z. B. zusammen in ein Gefäß getan und 
abgewogen werden, so kann auch mit ihnen als 
mit einer Einheit gerechnet werden. Die Einheit 
braucht nichts zu sein, was in der sinnlichen An- 
schauung gegeben ist; Ist denn die Einheit über- 
haupt etwas, was man mit den Augen sehen und 
mit den Händen greifen kann? - Wenn zweitens 
die Zahlen Produkte des von Vaihinger genannten 
Prozesses sind, dann folet daraus nicht, daB sie 
rein fiktiv sind, d. h. einen Widerspruch gegen 
die Wirklichkeit und einen Selbstwiderspruch. ein- 
schließen; denn der Prozeß spricht nur von einem 
Widerspruch. gegen die Wirklichkeit. Man 
könnte drittens mit dem gleichen Rechte bemer- 
ken, daß. der Prozeß die Zahlen schon voraus- 
setzt. Viertens und hauptsächlich hält die Vai- 
hingersche Darstellung. die Zahlen noch für 
Symbole. wirklicher Dinge. Hier - wie vorhin 
vermag Vaihinger zwischen der psychologischen 
und.der logischen Frage nicht zu scheiden. An 
der Wirklichkeit in seinem Sinne wird sich .der 
Zahlbegriff mitgebildet haben, aber ‚logisch ist 
er davon unabhängig. Die Zahlen bilden ein 
Reich für sich, mit eigenem Wirklichkeits- 
charakter und eigenen Gesetzen. : 
Wir sprachen bis jetzt nur von den len 
Fiktionen. Vaihinger kennt auch Semifiktionen 
in der Mathematik. Einiges davon wollen wir 
noch zur Erläuterung heranziehen. 
Eine Semifiktion liegt nach ihm z. B. vor bei 
der Lösung der Gleichungen 2. Grades. Die Glei- 
chung 
ef pextg=0 
2 
wird dadurch gelost, daB auf beiden Seiten (2) 
addiert wird, dadurch wird. die linke Seite das 
vollständige Quadrat einer Summe. Hier haben 
wir nach Vaihinger „ein deutliches Bild der 
Semifiktion: hier. wird die Wirklichkeit ver- 
ändert“). 
Wir fragen: Was für eine „Wirklichkeit“ ist 
1), NSO) S:2500:7. 
2) Einheit ist hier offensichtlich nicht: im’ mathe- 
matischen Sinne verstanden. 
$) A. 2.0485 208., 
