344 Müller: Die Fiktion in der Mathematik und der Physik. Die Natür- 
es, die hier verändert wird? Offenbar die Form 
der Gleichung. Wir bemerken nun zunächst, daß 
Vaihinger, vermutlich auf Grund der früher ange- 
führten Skala relativer Wirklichkeiten, den Be- 
griff der Wirklichkeit hier in einem anderen 
Sinne ‘nimmt als im allgemeinen sonst bei der 
Betrachtung der Mathematik. Trotzdem hilft 
ihm das nicht. Der Begriff der Semifiktion 
drückt, wie er an anderen Stellen deutlicher sagt, 
ein Abweichen von der „Wirklichkeit“ aus. Liegt 
der Fall hier vor? Sicherlich nicht. Denn eine 
Gleichung als Identitätsurteil hat keine bestimmte 
Form als ihre wirkliche Form; sie kann unend- 
lich viele verschiedene Formen annehmen, die 
gleichwirklich sind. Es liegt also gar keine Wirk- 
lichkeit vor, von der ein Ahweichen möglich wäre, 
— mit Ausnahme natürlich der Wirklichkeit, die 
durch den Sinn der Gleichung gegeben ist. Würde 
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man z. B. die Größe (5) nur auf einer Seite ad- 
dieren, dann würde man von der mathematischen 
Wirklichkeit abweichen und ihr widersprechen. 
Transformiert man aber richtig — und das setzt 
Vaihinger gewiß auch voraus —, dann geschieht 
nichts, was man als ein Abweichen von einer 
Wirklichkeit ansprechen könnte. 
Alle Hilfslinien sind in Vaihingers Augen 
Fiktionen'). Besonders das ,,Cartesianische Ko- 
ordinatensystem“ hat es ihm angetan, das er eine 
„Hinzudichtung“ nennt?) und von dem er sagt: 
„Und doch ist die Cartesianische Neuerung nur 
eine neue, auf der Ziehung von Hilfslinien be- 
ruhende Methode, um Inhalt, Umfang usw. der 
gesetzmäßigen, krummlinigen Figuren zu finden. 
2s zeigt sich das darin, daß am Schlusse beim 
wirklichen Resultat . jene Hilfsgrößen heraus- 
fallen.“ Der Mathematiker wird sich iniger- 
maßen über den Zweck der Koordinaten verwun- 
dern, über den Vaihinger ihn belehrt. Doch lassen 
wir das hier beiseite. Was man vielleicht in der 
Aussage Vathingers über den Charakter der Ko- 
ordinaten an Zutreffendem finden könnte, ist 
nach einem Ausdruck Salmons*) dies, daß die. Ko- 
ordinaten „dem Wesen der geometrischen Unter- 
suchung ganz fremd“ sind. Im übrigen sind, wie 
Vaihinger von Mathematikern hätte hören kön- 
nen*), die Hilfslinien keine Abweichung von der 
Wirklichkeit, in der der Mathematiker arbeitet. 
Nur in der sinnlich wahrnehmbaren Zeichnung 
bedeutet eine Hilfslinie ein Hinzufügen zu der 
Figur. In der mathematischen Wirklichkeit aber 
existieren die Hilfslinien in unendlicher Anzahl 
und besagt dieses Hinzufügen nur eine Auswahl 
der für den augenblieklichen Zweck passenden 
Tinie. 
Das Messen beruht nach Vaihinger auf einer 
1) A. a. 0. S. 203, 568. 
2) A. a. 0. 8. 567. 
3) Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie der 
Kegelschnitte 7. I. Bd., Leipzig 1907, S. 33. 
4) Zum Beispiel von ©. Hölder, Anschauung und 
Denken in der Geometrie. Leipzig 1900, S, 10. 
wissenschaften 
Semifiktion: „Das Stetige wird ganz willkürlich. 
so betrachtet, als ob es aus Teilen zusammen- 
gesetzt wäre‘). Hier rührt Vaihinger an ein 
tiefes Problem der Mathematik, das aber schon vor 
mehr als 50 Jahren einen Ansatz zur Lösung gem 
funden hat. Dedekind entdeckte damals die ste” 
tige Zahlenmannigfaltigkeit. Von hier aus kann | 
man nun auf zweifache Weise zu den stetigen 
Größen der Geometrie gelangen. Entweder zeigt 
die Dedekindsche Entdeckung, daß Stetiges und 
Diskretes keine Gegensätze sein müssen, Dann 
wird die stetige Größe beim Messen nicht geteilt, 
sondern sie ist stels auf unendlich vielfache Weise 
geteilt, und das Messen bedeutet lediglich das von 
der Maßeinheit bestimmte Aufsuchen von Teilen. 
Diese Auffassung scheint innerhalb des analy- 
tischen Aufbaues der Geometrie notwendig zu sein. 
Oder man legt der stetigen Zahlenmannigfaltig- 
keit ausschließlich einen arithmetischen Sinn bei 
und muß dann die eineindeutige Zuordnung der 
reellen Zahlen zu den Punkten der stetigen Größe 
aufstellen, wobei man annimmt, daß jeder irratio- 
nalen Zahl eine bestimmte Strecke entspricht. In 
keiner dieser beiden Auffassungen liegt etwas von 
der Vaihingerschen Konstruktion. Man kann sich 
nicht genug darüber wundern, daß Vaihinger dies: 
Resultate der Mathematik gar nicht berück- 
sichtigt hat. 
Derjenige Fall, der äußerlich am deutlichsten 
eine Fiktion einzuschließen scheint, ist die oft 
benutzte Überlegung: Angenommen, der Satz 
sei unrichtig; dann ist dieses oder jenes der 
Fall, was der Voraussetzung widerspricht; also 
ist der Satz richtig. Aber wie so oft trügt 
auch hier der Schein. Bei dem Forscher, der die 
Riehtigkeit des Satzes noch nicht weiß und auf 
diese Weise darüber zu entscheiden sucht, liegt 
keine Fiktion vor, sondern eine Art von mathe- 
matischem Gegenstück zur Verifikation einer 
IIypothese, wobei die Widerspruchslosigkeit die 
Rolle des Kriteriums übernimmt. Aber auch in 
der Mitteilung einer solchen Überlegung liegt 
keine Fiktion, sondern die Mitteilung (oder Dar- 
stellung in einem Lehrbuche) ist als Wiedergabe 
eines historischen Verlaufs anzusehen, als ein 
Nacherlebenlassen dessen, was der Forscher zw 
erst erlebt hat. 
Aus unseren Darlegungen ergibt sich, daß der 
Grundfehler Vaihingers, der ihn zu seiner fal- 
schen Ansicht über die Beziehung der mathema- 
tischen Begriffe zur „Wirklichkeit“ verleitet hat, 
in seiner primitiven und einseitigen Auffassung 
der Mathematik liegt. Für ihn ist die Mathe- 
matik nur ein Mittel zur Berechnung der „Wirk- 
lichkeit“. „Die Mathematik ist die eigentlich ge- 
nialste Methode selbst, um das Wirkliche zu be- 
rechnen“?), Nun ist gewiß die Mathematik aus 
dem praktischen Leben geboren. Sie bleibt für 
immer eines der gewaltigen Mittel, durch die der 

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