


Heft 21. ] 
25.5. 1917 
Naturwissenschaft die Erkenntnis, der Technik 
die Beherrschung des Wirklichen möglich wird. 
Sie erhält auch, wie Antäus von der Mutter Erde, 
immer wieder neues Leben, neue Anregungen und 
a von der Praxis. Aber über die Stufe der 
Sntwicklung, wo sie nur ein Rechenmittel war, 
ist sie eigentlich schon im Altertum hinaus- 
gewachsen. Jedenfalls hat sie in der neueren Zeit 
die Eigenwirklichkeit ihrer Gegenstände erkannt 
und dadurch die bewußte Selbständigkeit und Un- 
abhängigkeit als Wissenschaft gewonnen. Vai- 
hinger kennt nur ihren Wirkungswert und über- 
sieht ihren KHigenwert. Daß übrigens dieser 
Fehler Vaihingers nur ein Ausläufer, ein 
Produkt, ein spezieller Fall einer allgemeineren 
Anschauung ist, hat schon Study an der 
früher zitierten Stelle bemerkt. Vaihinger 
ist, Vertreter des kritischen Positivismus, der 
nichts als das Sinnlich-Wahrnehmbare kennt; 
„für ihn existieren nur die beobachteten 
Successionen und Koexistenzen der Phänomene“*). 
Alles übrige ist Fiktion. Der Positivist bemerkt 
nicht, wie er sich mit jedem Satze, den er auf- 
stellt, sozusagen ins Gesicht schlägt. Denn es 
„existiert“ doch wohl auch ein Sinn des Satzes 
(oder ist das vielleicht bei den Sätzen der Positi- 
visten nicht der Fall?). Indes hat es keinen 
Zweck, tiefer auf das Philosophische einzugehen. 
Es geht uns ja nicht um die Philosophie und 
Metaphysik, sondern um: die Wissenschaftstheorie 
der Mathematik und Physik. 
Noch, eine letzte Bemerkung. Auf dem Boden 
der richtigen Auffassung der Mathematik erhebt 
sich naturgemäß die Frage: Wie treten denn nun 
die mathematischen Begriffe zur beobachteten 
Wirklichkeit in Beziehung? wie ist ihre Anwen- 
dung auf diese Wirklichkeit möglich? Für Vai- 
hinger folgt die Lösung dieses Problems aus dem 
Begriff der Fiktion; die logische Theorie, so 
meint er?), fordere, daß die Fiktion nur provi- 
sorisch sei, daß im Verlaufe des Denkens eine 
Korrektur eintreten müsse. Für den Mathema- 
tiker bedarf das Problem einer selbständigen Lö- 
sung, die hier nur des Abschlusses wegen für 
einige elementare Begriffe angedeutet sein mag. 
Gewisse mathematische Begriffe können auf die 
beobachtete Wirklichkeit Anwendung finden, weil 
ihre Gegenstände darin mit mehr oder weniger 
großer Annäherung realisiert sind oder realisiert 
werden können und weil die Mathematik die Mög- 
lichkeit bietet, den Grad dieser Annäherung zu be- 
stimmen. Das damit das ganze Problem nicht 
einmal aufgerollt, noch weniger gelöst ist, ist dem 
Einsichtigen klar. Darauf tiefer einzugehen, ge- 
hört aber nicht mehr zu unserer Aufgabe. 
3. Die „Selbstwidersprüche“ in den mathema- 
tischen Begriffen. 
Die Widerspruchslosigkeit der benutzten Be- 
griffe festzustellen, ist die erste und notwendigste 
MN a 0.8 115 
BARON SAT 
Nw. 1917 

Müller: Die Fiktion in der Mathematik und der Physik. 
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Aufgabe jeder wissenschaftlichen Betätigung. 
Gerade die Mathematik hat darauf besonders ge- 
achtet, weil sie es bei dem eigenartigen formalen 
Charakter ihrer Gegenstände am besten tun konnte 
und am meisten nötig hatte. Und daß sie dadurch 
in der Schärfe ihrer Begriffsbildungen vorbildlich 
geworden ist, hat noch kein Verständiger geleug- 
net. Vaihinger ist anderer Ansicht. Die Mathe- 
matik besteht nach ihm hauptsächlich in echten 
Fiktionen, also nicht nur in Abweichungen von 
der Erfahrung, sondern auch (worauf es uns jetzt 
ankommt) in Selbstwidersprüchen. 
Sehen wir zu, wie er diese Behauptung beweist. 
Von den mathematischen Körpern sagt ert): 
„Solche Formen ohne Inhalte sind an sich nichts, 
ja schlimmer als nichts, denn sie sind wider- 
spruchsvolle Gebilde, ein Nichts, das doch noch 
als ein Etwas vorgestellt wird, ein Etwas, das 
schon in ein Nichts übergeht.“ Wir wollen nicht 
fragen, wie etwas „an sich nichts“ sein kann, 
auch nicht, wie etwas „schlimmer als nichts“ sein 
kann (als ob „nichts“ schlimm sei!). Wir achten 
bloß auf die Art, wie Vaihinger psychologische 
Metophysik treibt, wo es sich um logische Inhalte 
handelt. 
Ähnlich ist der Punkt „eine in sich haltlose 
und widerspruchsvolle Idee, ein trotz seines Mini- 
mums monströser Begriff eines Etwas, das schon 
ein Nichts ist, eines Nichts, das doch noch ein 
Etwas sein soll’). Es ist unverständlich, wie die 
„Monströsität“ eines Begriffes von der Größe 
eines Vorstellungsgegenstandes abhängen kann. 
Wir notieren nur dieselbe Verwechselung wie 
vorhin. 
Ich bin nicht ganz klar, ob Vaihinger in dem 
Begriffe des n-dimensionalen Raumes?) ‘auch 
einen logischen Widerspruch oder nur einen 
Widerspruch mit dem 3-dimensionalen Raum, 
„den man vor sich hat“, finden will. Dagegen 
scheint er’) den Determinantenbegriff als echte 
Fiktion anzusehen. Worin die -ev. logischen 
Widersprüche liegen sollen, wird in beiden Fällen 
verschwiegen. 
Die Begriffe der negativen Zahlen, der Brüche, 
der irrationalen und der imaginären Zahlen sollen 
„klaffende Widersprüche“ enthalten’). „Das 
Grundprinzip ist eben auch hier eine unberech- 
tigte Anwendung und Übertragung einer logischen 
Methode auf Fälle, die streng genommen nicht 
darunter zu subsummieren sind, oder die Betrach- 
tung solcher Gebilde als Zahlen, welche gar keine 
rechten Zahlen sind. Negative Zahlen sind ein 
Selbstwiderspruch, wie alle Mathematiker zugeben ; 
es ist eine Ausdehnung der Subtraktion über das 
Maß der logischen Anwendungsmöglichkeit der- 
selben hinaus: die Bruchzahlen sind das Produkt 
derselben Methode bei der Division und die irra- 

1) A. a. 0: 8, 506, 
a) Ara 028: 507. 
2) IX, Filo: MOBS Se we 
BACAR Os 185 261. 
DA OD ST: 
47 
