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tionalen Zahlen bei der Radizierung; das mon- 
ströseste Zahlgebilde dagegen sind die imaginären 
Zahlen, denen die Konstruktion durch Gauß, Dro- 
bisch u. a. nichts von ihrer fiktiven und wider- 
spruchsvollen Natur genommen hat.“ 
Das Geheimnis dieser Kritik Vaihingers liegt 
in dem Ausdruck „Zahlen, welche gar keine 
rechten Zahlen sind“. „Rechte Zahlen“ sind ihm 
nur die positiven Zahlen als Symbole für Dinge 
seiner „Wirklichkeit“. Er sieht nicht, daß diese 
Auffassung innerhalb des Bereiches der positiven 
Zahlen schon undurchführbar ist. Wie kann er 
z.B. 2X3=6 oder 2 —2=0 rechnen, wenn die 
Zahlen immer Dinge symbolisieren? Ist also das 
Prinzip der Dingsymbolisierung schon tatsächlich 
durchbrochen, so wird es in sich hinfällig, wenn 
man sich überlegt, daß es doch nur auf einer Ver- 
wechselung der empirisch-psychologischen Ent- 
stehung mit dem logischen Inhalt des Zahl- 
begriffes beruht. Sieht man das ein, so ist damit 
die Möglichkeit einer beliebigen rechtmäßigen Er- 
weiterung des Zahlbegriffes gegeben. Wie die 
moderne Mathematik den Zahlbegriff grundgelegt, 
wie sie die Erweiterung mit Hilfe des Permanenz- 
prinzips, der Schnitte, des Grenzwertes usw. vor- 
genommen hat, kümmert Vaihinger gar nicht. Er 
benützt den primitiven Zahlbegriff der Volks- 
schule, findet dann ~ selbstverständlich Wiıider- 
sprüche und scheut sich auch nicht, gelegentlich 
die Fiktion zu machen, ,,wie alle Mathematiker 
zugeben“. Man kann immer wieder dasselbe 
wiederholen: Es ist unbegreiflich, wie jemand 
heute über den Zahlbegriff etwas veröffentlichen 
kann, ohne die Riesenarbeit zu kennen oder zu 
würdigen, die die Mathematik ihm gewidmet hat. 
Die meisten Schmerzen macht Vaihinger das 
Problem des Unendlichen, vor allem das des Un- 
endlich-Kleinen. Den Sinn des Differentialquoti- 
enten glaubt er durch die folgende Überlegung?) 
darzustellen. Läßt man in 
y=pArtnda +.. 
Az und Ay verschwinden, so erhält man ,,eigent- 
lich“ den Wert 5 =p: ae 
sinnloser Ausdruck; 
ist ein vollständig 
5 kann jede beliebige Zahl 
sein, jeder Wert ate 0 d. h. kann unter Umständen 
herauskommen. Streng genommen müßte einfach 
gesagt werden, wenn Ax und Ay zu 0 abnehmen, 
so bleibt eben auch nichts. Zunächst gelten Ax 
und Ay als wirklicha Werte. Sobald gesagt wird, 
sie sind gleich Null, so hat die ganze Rechnung 
absolut keinen Sinn mehr, da 0 ja eben kein 
Wert ist.“ 
„Auf der anderen Seite: Läßt man Axund Ay 
nicht bis zu 0 abnehmen, so hat man kein Recht, 
die anderen Glieder verschwinden zu lassen. 

Die Fiktion in der Mathematik und der Physik. 
Haben A x und Ay also noch einen endlichen Wert, 
so bleiben diese Glieder.“ : 
„Aus diesem schlimmen Dilemma hilft nun 
die noch verzweifeltere Annahme heraus, Ax und 
Ay seien — Grenzen oder unendlich kleine Werte. 
In diesem Fall haben wir einerseits das Recht, den 
Wert p beizubehalten, und andererseits die übrigen 
Glieder wegfallen zu lassen.“ 
Was soll der Mathematiker dazu sagen? 
Wenn Ax und Ay verschwinden, so darf man 
durchaus nicht lim Ay N, 
setzen. Denn es han- 
Ax 0 
delt sich nicht 
um das Verhältnis des Grenz- 
wertes von Ay zu dem Grenzwert von A x, sondern 
und der 
ist ganz bestimmt, nämlich = p. Die Rechnung 
AY ist die 
x 
um den Grenzwert des Verhältnisses ae 
hat also einen guten Sinn, denn lim 
Richtung der Kurve. Aber selbst wenn wir die 
Bildung m zuließen, dann wäre ihr Wert eben in 
diesem Falle bestimmt. Eine kaum glaubliche 
Verwirrung steckt in der Aussage, „Ax und Aw 
seien Grenzen oder unendlich kleine Werte“. 
Etwas vernünftiger wird sie, wenn man annimmt, 
daß sie sich nicht auf Ax und Ay, sondern auf 
lim me bezieht. Aber die größte Unvernunft des 
„oder“ bleibt bestehen. Es ist nun unmöglich, 
hier in ihrem ganzen Umfang die strenge Ablei- 
tung zu wiederholen, die die Mathematik heute 
dem Differentialquotienten geben kann. ‚Daß der 
Grenzbegriff dazu gehört, weiß Vaihinger aucht). 
Was er damit meint, kann man vielleicht nach dem 
Vorstehenden ahnen. Er lehnt seine Benutzung 
ab, weil „die Vorstellung der Grenze genau die- 
selben Widersprüche in sich birgt, wie die Vor- 
stellung des Unendlich-Kleinen, nur versteckter 5 
und weniger konkret. Der abstrakte, reine Be- 
griff des Unendlich-Kleinen zeigt jene Wider- 
sprüche offen und unmittelbar, welche auch schon 
im Begriff der Grenze enthalten sind, wie unsere 
oben S. 506 ff. gegebene Analyse zeigt“?). Schon 
diese Ausführung weist die Verwechselung vori 
Vorstellung und Begriff auf. Schlägt man die. 
vermerkte Analyse nach, so findet man nichts als 
die immer sich wiederholende Behauptung, die 
Grenzgebilde seien „ein Nichts, das doch noch als 
ein Etwas vorgestellt wird, ein Etwas, das schon 
in ein Nichts übergeht“, — also dieselbe Ver- 
wechselung. Vaihinger kennt in seinem Buche den 
Grenzbegriff der Mathematik überhaupt nicht, 
ebensowenig den heutigen Stand der Einsicht in das 
Problem des Unendlich-Kleinen. So kehren denn 
in seiner Kritik alle die alten irrtümlichen Auf- 
fassungen und Einwände wieder, die man bei 
früheren Generationen verstehen und entschul- 
digen kann, heute aber nicht mehr. 
An einer anderen Stelle ringt er äußerlick 
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