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allein zu einer falschen Bewertung desselben, son- 
dern drängt auch die neuen Gesichtspunkte, noch 
unreif, auf einen Weg, auf welchem ihre Entwick- 
lung nicht liegt. 
Darum ist es ein großes Verdienst des ver- 
storbenen Mathematikers Poincaré, daß er nach 
einer Epoche mühevollen Strebens, die Bewegung 
eines Himmelskörpers für längere Zeiten durch 
Formeln gut darzustellen, wieder auf das allge- 
meine Dreikörperproblem zurückgekommen ist und 
versucht hat, unsere allgemeinen Kenntnisse im 
idealisierten Problem zu erweitern. Auf seinen 
Ideen bauen sich fast alle weiteren Entwicklungen 
auf; auch die Arbeiten von K. Sundmann, die ich 
hier besonders berücksichtigen möchte, sind ohne 
die Untersuchungen von Poincare, Painleve usw. 
nicht denkbar. 
Der Bewegungszustand dreier Körper im Raum 
ist für eine bestimmte Epoche bekannt, wenn die 
Koordinaten und die Geschwindigkeitskompo- 
nenten eines jeden der drei Körper in bezug auf 
ein irgendwie gewähltes Koordinatensystem ge- 
geben sind. Ein jeder Körper ist also der Träger 
von 6 Bestimmungsstücken, den drei Koordinaten 
Li, Yi, #4 (=I, 2, 3) und den Geschwindigkeits- 
komponenten 
dai _ u Cyt es 
Gye ek ed te Le ea 
Das Problem führt infolgedessen auf dreimal sechs, 
also achtzehn Differentialgleichungen 1. Ordnung, 
der Gestalt 
>. 
ZU 
d x, i 
== 0 
dt “> 
d Ben (5 alte KK] 
a SER] Nes a OL ee m =e 
dt 2 3° 3 3° 2 
wo rs die gegenseitige Distanz der Massenpunkte 
mı und ms, 72 diejenigen zwischen mı und ms be- 
deutet. Entsprechende Gleichungen gelten für die 
übrigen Größen Vi, Yi, 2. 
Eine strenge Lösung dieser Gleichungen ist 
nicht möglich, d. h. wir können die 18 Größen 
2, Yi,.... auf Grund der Differentialgleichun- 
gen nicht in geschlossener Form als Funktionen 
der Zeit „t“ darstellen und von irgend einer Aus- 
gangskonstellation ausgehend, die Bahnkurven, 
welche jeder der drei Punkte in der Folgezeit 
durchlaufen wird, angeben. Es sind allerdings 
eine Reihe Integrale dieser Differentialgleichun- 
gen bekannt, d. h. algebraische Gleichungen zwi- 
schen den Größen &;, yi usw., welche für alle Zei- 
ten erfüllt sein müssen; es sind dies bekanntlich 
die 6 Schwerpunktsätze, die 3 Flächensätze und 
das Integral der lebendigen Kraft, auf welche ich 
‘jedoch hier nicht mehr eingehen kann. Mit ihrer 
Hilfe kann man, unter Heranziehung weiterer 
Gesichtspunkte, die Anzahl der obigen 18 Glei- 
chungen auf 6 reduzieren. Aber eine weitere Be- 
schränkung ihrer Zahl ist nicht möglich. 
Es ist nun die Frage: Was kann man aus dem 
Charakter der Differentialgleichungen und aus 
den vorhandenen Integralen über die Art der Be- 
Freundlich: Uber neue Fortschritte im Dreikörperproblem. 
> 
[ Die ue ; 
wegung sagen, auch wenn man nicht imstande ist, 
durch Integration die Koordinaten der drei Körper 
als Funktionen der Zeit darzustellen. Es ent- 
springt einem natürlichen menschlichen Empfin- 
den, daß man vor allem danach fragt, ob die drei 
Körper für ewige Zeiten in endlicher Entfernung 
voneinander ihre Bahnen beschreiben werden, ob 
etwa einer von ihnen das System verlassen wird, 
oder ob zwei von ihnen oder gar alle drei einmal 
in einem endlichen Zeitmoment zusammenstoßen 
werden. Diesen Fragenkomplex faßt man unter 
der Bezeichnung Stabilitätsfragen zusammen. 
Schon Lagrange hat eine spezielle Lösung des 
Problems gefunden, für welche diese Fragen sich 
beantworten lassen. Befinden sich nämlich die 
drei Massen in einem bestimmten Zeitmomente 
in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks oder 
auf einer geraden Linie in bestimmter Entfernung 
voneinander angeordnet und werden ihre Ge- 
schwindigkeiten geeignet gewählt, so bleibt diese 
relative Konstellation erhalten und die drei Kör- 
per beschreiben um ihren Gesamtschwerpunkt 
Kegelschnitte. Ist speziell die Masse des einen 
Körpers verschwindend klein, so kann er mit der 
relativen Geschwindigkeit 0 zu den anderen sich 
in der dritten Ecke des durch die drei Körper 
definierten gleichseitigen Dreiecks halten und das 

ganze System kann, als starr betrachtet, eine 3 
gleichmäßige Rotation um seinen Schwerpunkt be- 
schreiben. Dieser Fall hat deswegen ein großes 
praktisches Interesse, weil in dem entsprechenden 
Dreieckspunkte zur Sonne und Jupiter sich in der 
Tat kleine Planeten in anscheinend stabilem Zu- 
stande befinden (Hektor, Patroklos), die dort 
kleinere Schwingungen um eine mittlere Lage aus- 
führen. 
Formulieren wir nun, um wieder auf das all- 
gemeine Problem zurückzukommen, die Stabili- 
tätsbedingung so, daß wir fragen: Unter welcher 
Bedingung werden für alle drei Distanzen 1% 
zwischen den Körpern folgende Ungleichungen 7 
für alle Zeiten erfüllt bleiben, 7; SR, 75 >t 
(@=1,2, 3), wobei R, r endliche positive Konstan- 
ten sind, so sind wir bis heute nicht in der Lage, 
auf solche rigorosen Forderungen notwendige und 
hinreichende Kriterien zu formulieren. Man muß 
allerdings folgendes im Auge behalten: Der Fall, 
daß zwei oder alle drei Körper zusammenstoßen, 
ist für unsere obigen Gleichungen ein singulärer 
Fall, da ja, wenn irgend ein r; =0 wird, einige 
der rechten Seiten der Differentialgleichungen 
unendlich werden; und wie der Mathematiker 
Painlevé bewiesen hat, sind die Zusammenstöße 
(r; =—0) auch die einzigen kritischen Stellen des 
reellen Bewegungsvorganges. Dagegen spielt der 
Fall, daß einer der Körper, wenn es nur mit end- 
licher Geschwindigkeit geschieht, ins Unendliche 
läuft, in den Gleichungen keine singuläre Rolle. 
Man gewinnt auch bei tieferem Einblick den Ein- 
druck, daß, wenn die Massen und die relativen 
Distanzen von gleicher Größenordnung sind, der — 
Bewegungsvorgang in unserem engeren Sinne an- — 


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