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Heft a ; 
23.4. 1915| 
_ scheinend hochgradig unstabil wird. Ich möchte 
_ das an einem Beispiel demonstrieren, das wirklich 
_ außerordentlich lehrreich ist, und dessen Kenntnis 
wir dem schwedischen Astronomen F. Strömgren 
verdanken. 
Es befinden sich in irgendeinem Zeitmoment 
drei Körper A, B, C auf einer geraden Linie, C 
habe, in irgendeiner Einheit gemessen, die Masse 
2, A und B jedoch die Masse 1, und es befinde sich 
eee in der Distanz 7, links von C, in einem Be- 
wegungszustande, als wolle er um OC eine Kreis- 

A (@ A 
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_ B rechts in der Entfernung 10 von (, so, als wolle 
auch er in gleichem Sinne um ( eine Kreisbahn 
_ beschreiben. Was wird in der folgenden Zeit mit 
diesem System geschehen? Strömgren hat sich 
der großen Mühe unterworfen, durch mechanische 
Quadratur die Bahnen der Körper zu verfolgen 
und findet folgendes merkwürdige Resultat. 
Während A fast ungestört seine Kreisbahnen um 
© weiter beschreibt, verläßt B sofort das System 
' auf einer Kurve, die eine langgestreckte Ellipse 
zu werden scheint. Er wird sich also vielleicht 
für die Folgezeit immer in respektvoller Entfer- 
nung von A und ( halten. In der Tat ist den 
Astronomen kein Sternsystem bekannt, wo drei 
_ oder mehr Massen von gleicher Größenordnung in 
ebensolchen Distanzen sich aufhielten, immer be- 
_ -findet sich der dritte Körper weit außerhalb von 
den beiden anderen Komponenten ({ Cancri). 
Es scheint also, als ob der Fall, daß der eine der 
drei Körper sich relativ weit von den beiden an- 
deren entfernt, so daß das Dreikörperproblem ge- 
-wissermafen in zwei Zweikörperprobleme zerfällt, 
indem nur die Gesamtmasse der zwei zurück- 
bleibenden Körper, in ihrem gemeinsamen Schwer- 
- punkt vereinigt gedacht, für dea weit entfernten 
_ dritten Körper maßgebend wird, eine besondere 
‘Rolle im ganzen Problem spielte, und solange wir 
die hierüber geltenden Gesetze nicht kennen, 
können wir die Stabilitätsforderungen auch nicht 
so elastisch und speziell fassen, daß sie fruchtbar 
werden. HH. Poincaré hat der Frage auf die Weise 
eine besondere Wendung gegeben, daß er die 
- Distanzen zwischen den Körpern nicht, wie wir 
eben, durch Ungleichungen einschnürte, sondern 
eine Stabilität sehr allgemeiner Art postulierte. 
Es wird bei ihm das System der drei Körper auch 
dann noch stabil genannt, wenn dieselbe von 
irgend einer Ausgangskonstellation ausgehend, be- 
liebig oft und beliebig nahe diese Anfangskonstel- 
lation einnehmen. Wie weit die Körper in den 
Zwischenzeiten sich voneinander entfernen, wird 
nicht beachtet. Aber selbst für diese sehr milde 
- Forderung lassen sich im allgemeinen Falle keine 
‚Kriterien ableiten. 
Bei allen diesen Untersuchungen hatte man die 
Frage nach den Zusammenstößen kaum beachtet, 
vielleicht weil uns im Sonnensystem bei dem Stu- 
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2 Nw. 1915. 
ze 
Freundlich: Uber neue Fortschritte im Dreikörperproblem. 215 
dium der kleinen Planeten und Kometen der Fall, 
daß ein Körper das System dauernd verlassen 
könnte, viel häufiger begegnet als der Fall eines 
Zusammenstoßes. K. Sundmann') hat erst ‘diese 
Lücke ausgefüllt und ist dabei zu außerordent- 
lich tiefen und allgemeinen Theoremen gelangt. 
Seine Resultate sind aber nicht in allgemein ver- 
ständlicher Form abzuleiten, so daß nur die End- 
ergebnisse seiner mathematischen - Überlegungen 
hier Platz finden können. 
Der Fall, daß zwei der Körper oder gar alle 
drei für irgend eine endliche Epoche ¢ = tı zusam- 
menstoßen, d. h. analytisch ausgedrückt, der Fall, 
daß für t=, eines der Größen 7; = 0 wird, ist, 
wie man sagt, eine singuläre Stelle des Problems, 
da für irgend ein; =0( = 1, 2, 3), wenigstens 
für einige der Differentialgleichungen des Systems 
die rechte Seite derselben’unendlich wird. Es bedarf 
also eines besonderen Studiums dieser Stellen, um 
übersehen zu können, ob in ihrer Umgebung der 
Bewegungsvorgang regulär verläuft, und nicht z. 
B., wie man sich ja denken könnte, die Annähe- 
rung zweier der Körper über eine bestimmte Grenze 
hinaus unbedingt zu einer Katastrophe führt, 
vielleicht in der Art, daß diese beiden Glieder in 
Spiralen umeinande. zu rotieren beginnen, bis sie 
zusammenstoßen. Wie schon zu Anfang bemerkt, 
gelten allerdings alle Resultate von Sundmann 
nur für mit Masse behaftete mathematische 
Punkte, der Übergang zu den reellen Verhältnissen 
ist jedoch unmittelbar zu erreichen. 
Den Ausgang aller Überlegungen bildet ein 
wichtiges Theorem von Painleve, welches lautet: 
Die Koordinaten der drei Körper sind reguläre 
Funktionen der Zeit t. Hört für irgend einen 
Zeitmoment t = ty eine der Koordinaten auf 
regulär zu bleiben, so konvergiert eine der 
Distanzen zwischen den Körpern oder alle für die 
Epoche t=tı gegen Null. 

Die Zusammenstöße sind also die einzigen 
singulären Stellen des reellen Problems. Befindet 
man sich nicht in unmittelbarer Nähe eines 
solchen Zusammenstoßpunktes, so kann man zwar 
nicht, wie schon erwähnt, die Differentialglei- 
chungen integrieren, aber, wie die Bezeichnung 
„reguläre Funktion“ besagt, man kann in der Um- 
gebung dieser Stelle die Koordinaten und Ge- 
schwindigkeit der drei Körper in konvergente 
Potenzreihen nach der Zeit entwickeln, und durch 
Fortsetzung der Reihen die Bewegung jedes Kör- 
pers für sich verfolgen, bis man in die Nähe einer 
kritischen Stelle gelangt. Diesen Weg, wenn er 
auch mühsam ist, und keine weite Aussicht über 
den Verlauf der Bahnkurven bieten kann, muß man 
in der Tat einschlagen, wenn man wie Strömgren 
in dem zu Anfang skizzierten Beispiel zusehen 
will, was aus einer beliebig gewählten Anfangs- 
konstellation in der Folgezeit wird. Sobald man 
in die Nähe eines Zusammenstoßpunktes gelangt, 
versagt diese Methode, weil in der Umgebung 
t) Acta Mathem. Bd. 36, 1913, Acta Societatis Scien- 
tiarum Fennicae Bd. 34 u. 55. 
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