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einer solchen singulären Stelle keine Entwicklung 
der Koordinaten und Geschwindigkeiten nach 
konvergenten Potenzreihen der Zeit möglich ist, 
wie das Theorem von Painleve besagt. Hier grei- 
fen nun Sundmanns Arbeiten ein. Nähert man 
sich einer singulären Stelle, so sind zwei wesent- 
lich verschiedene Fälle zu unterscheiden: 
1. Es gelangen nur zwei von den Massen- 
punkten für die Epoche t= ft in kritische 
Nähe zueinander. 
2. Es nähern sich alle drei Massenpunkte 
gleichzeitig für die Epoche ¢ = ti der kriti- 
schen Stelle. 
Der zweite Fall kann nur unter ganz beson- 
deren Umständen eintreten, für den ersten da- 
gegen sind vorläufig noch keine einschränkenden 
Voraussetzungen bekannt, er spielt darum auch 
eine wichtige Rolle. Wie nun Sundmann zeigt, 
kann man durch Einführung geeigneter Variabeln 
in der Umgebung einer kritischen Stelle, bei der 
sich zwei der Körper bedenklich nähern, so daß in 
seinen Ansätzen, wo ja die Körper durch Massen- 
punkte vertreten werden, die entsprechende 
Distanz vr; für t= t1 streng gleich Null gesetzt 
wird, auch eine konvergente Darstellung der Ko- 
ordinaten und Geschwindigkeiten nach Potenzen 
der Zeit auf Grund der Differentialgleichungen 
erreichen, allerdings nicht nach ganzen Potenzen 
von (t—tı), sondern nach steigenden Potenzen 
von (t—4)/. Die Funktionentheorie gibt uns 
aber die Mittel an die Hand, das Wesen einer 
Funktion auch in der Umgebung eines solchen 
Punktes zu studieren, speziell auch den Verlauf 
der durch solche Reihen dargestellten Größen 
Li, Yi, .... über den kritischen Punkt hinaus zu 
verfolgen. Die Koordinaten der zwei Körper, 
welche zusammenstoßen, lassen sich bis an den 
Zusammenstoßpunkt {= ft: in der Form solcher 
Potenzreihen nach (t —t,)/ verfolgen, wobei das 
Argument (t— t:) vor dem Zusammenstoß nega- 
tive Werte durchläuft; dann muß dieses Argu- 
ment der Reihen um 3 r vergrößert bzw. verkleinert 
werden, und die so erhaltenen Reihen stellen dann 
den Verlauf der Koordinaten und Geschwindig- 
keiten nach dem Zusammenstoß dar. Die durch 
die neuen Reihen dargestellten Größen &;, Yi,--- 
erfüllen dabei die ursprünglichen Differential- 
gleichungen des Problems, welche auch die gleichen 
Integrale mit den gleichen Konstanten aufweisen; 
sie stellen also wirklich die Koordinaten und Ge- 
schwindigkeiten derselben drei Körper nach dem 
Zusammenstoße in dem Punkte t=tı dar. Die 
Bahnkurven der beiden, die sich einander so stark 
genähert hatten, weisen in dem kritischen Punkte 
die Besonderheit auf, daß sie mit gemeinsamer 
Tangente aneinander vorbeilaufen; nähme man 
also ausgedehnte Körper an, so würden die- 
selben zusammenprallen und durch das Auftreten 
elastischer Kräfte würden damit absolute andere 
Erscheinungen ausgelöst werden, die im Ansatz 
der klassischen Mechanik außer acht gelassen 
sind. Der am Zusammenstoß nicht beteiligte 
Freundlich: Über neue Fortschritte im Dreikörperproblem. 
| Die Natur- 
wissenschaften _ 
dritte Körper weist für die Epoche = natür- 
lich keine Besonderheit seiner Bahn auf. 
Theoretisch wäre damit die Möglichkeit in der 
Tat gegeben, für alle Zeiten die Bewegung dreier, — 
sich nach dem Newtonschen Gesetze anziehender 
Körper zu verfolgen. Die Existenz konvergenter 
Reihen für die Koordinaten und Geschwindig- 
keiten nicht allein in der Umgebung regulärer 
Konstellationen, sondern auch in der Umgebung 
der Zusammenstöße und die Vorschrift, wie die 
Reihen über die Zusammenstoßpunkte hinaus fort- 
zusetzen sind, geben uns die Mittel an die Hand, 
den Bewegungsvorgang, wenn auch mühsam und 
nicht mit einem Schlage alle Besonderheiten über- 
bliekend, so doch Schritt für Sehritt zu verfol- 
gen. Es könnte allerdings der Fall eintreten, 
nicht allein, daß alle drei Körper zusammenstoben 
_— diesen Fall werde ich am Schlusse berücksich- 
tigen —, sondern auch, daß sich die Zusammen- 
stöße je zweier von ihnen schon in endlicher Zeit 
in immer enger und enger werdenden Zwischen- 
räumen wiederholten. Auch dann würde unsere 
Methode versagen. Sundmann zeigt jedoch, dab 
dieser Fall nicht im allgemeinen eintreten kann, 
und gelangt damit zu dem sehr wichtigen 
Theorem: 
Wenn im Dreikörperproblem die Ausgangs- 
konstellation nicht dergestalt gewählt ist, daß alle 
drei Körper zugleich zusammenstoßen können, so 
ist man in der Lage, eine neue Variabel x an Stelle 
der Zeit t in das Problem einzuführen, so dab für 
alle Zeiten die Koordinaten und Geschwindig- 
keiten der drei Körper durch konvergente Potenz- 
reihen nach x dargestellt werden können, voraus- 
gesetzt, daß man die Reihen im Falle eines Zu- 
sammenstoßes zweier Körper, gemäß obiger Ver- 
einbarung, fortsetzt. 
Dieses Theorem ist unzweifelhaft das allge- 
meinste Entwicklungstheorem, das bisher im Drei- 
körperproblem aufgestellt werden konnte. Es 
schließt nur den einen Fall aus, daß die Ausgangs- 
konstellation den gleichzeitigen Zusammenstoß 
aller drei Körper zuläßt. Wie sich jedoch leicht. 
zeigen läßt, sind die hierzu notwendigen Vorbe- 
dingungen außerordentlich eng begrenzt und darum 
auch nur in den seltensten Fällen realisiert. Ein 
gleichzeitiger Zusammenstoß aller drei Körper 
kann nämlich nur stattfinden, wenn sich alle drei 
in derselben Ebene bewegen und wenn die drei 
Flächenkonstanten in den Flachenintegralen 
gleich Null sind, d. h. wenn das Drehmoment des 
gesamten Systems gleich Null ist. In der Um- 
gebung des Zusammenstoßpunktes hat man noch 
keine Entwicklungstheoreme aufgestellt, Sund- 
mann hat jedoch auch hier sehr interessante Tat- 
sachen aufgedeckt, welche zeigen, daß der Zu- 
sammenstoß der drei Körper durchaus wohlge- 
ordnet vor sich geht. 
Schon zu Anfang erwähnte ich die Lagrange- 
sche Lösung im Dreikörperproblem, bei welcher — 
die drei Körper ständig in den Ecken eines gleich- 
seitigen Dreiecks oder auf einer geraden Linie in 



