en. 6. 1915 






Heft 24. ] 
den Gleichungen zweiten Grades: mit der Glei- 
chung x?--px= q kann das Denken nichts an- 
fangen; aber nun fingiere ich, daß die eine der 
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beiden Seiten der Gleichung um {>} vergrößert 
werde, korrigiere aber diesen Fehler, indem ich 
auf der anderen Seite dieselbe Fiktion vornehme, 
und nun ist die Gleichung auflösbar: 
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an x+(3)= a+ (2). 
Der Grund dafür, warum in der Mathematik 
die Fiktionen eine so wichtige und bedeutungs- 
volle Rolle spielen, ist die gesonderte erkenntnis- 
kritische Stellung, welche die Mathematik ein- 
nimmt. Was damit gemeint sei — auf das 
Nähere kann an dieser Stelle natürlich nicht ein- 
gegangen werden —, ist jedem ohne weiteres ein- 
leuchtend, der mit der Kantischen Lehre vertraut 
ist. Man könnte den Hauptpunkt kurz so aus- 
drücken: in der Mathematik spielen die Fiktio- 
nen deshalb eine so wichtige Rolle, weil in ihr im 
Grunde alles fiktiv ist, weil es auch Flächen, 
Linien und Punkte als Realitäten im Sinne Vai- 
hingers, also objektiv, unabhängig vom Erkennt- 
nisvermögen bestehend, nicht gibt, ebensowenig 
mies die Größe 0 und co oder Y—1; und die 
letzteren, welche Vaihinger als Fiktionen kenn- 
zeichnet, wären sonach im Grunde nur besonders 
drastische, hervorstechende und als solche ein- 
leuchtende Fiktionen. Aus ebendemselben Grunde 
kann es darum auch in der Mathematik, im Un- 
terschiede von anderen Erkenntnisgebieten, nur 
Fiktionen, aber keine Hypothesen geben. 
Es ist darum auch ohne weiteres einleuchtend, 
‘daß man den Begriff der Fiktion im mathemati- 
‘schen Sinne nicht ohne weiteres auf andere Er- 
-kenntnisgebiete übertragen kann; daß er jeden- 
falls hier schwankend, unsicher oder unhaltbar 
werden muß; und dies um so mehr, je weiter man 
sich von der Mathematik entfernt. So spielt die 
Fiktion gewiß noch eine bedeutungsvolle Rolle 
auch in der mathematischen Physik, wie etwa der 
Begriff des Gravitations-Zentrums, d. 1. des 
Punktes, in welchem die Schwerkraft eines Kör- 
pers konzentriert gedacht wird, oder auch selbst 
noch der des Atoms, dessen mathematischer 
Charakter ja unverkennbar ist, noch als solche 
Fiktionen aufgefaßt werden können. Dagegen ist 
es schon unmöglich, oder mindestens irreführend 
und höchstens eine Halbwahrheit, den physika- 
lischen Begriff der Kraft in gleichem Sinne als 
Fiktion zu begreifen. Vollends den Begriff der 
Fiktion noch weiter auszudehnen, selbst Ideen, 
Allgemeinbegriffe, Kategorien usw. insgesamt 
darunter zu begreifen, und schließlich ihn gar zum 
allgemeinen Erkenntnisprinzip zu erheben und so 
zum tragenden Begriffe einer allgemeinen philo- 
sophischen Prinzipienlehre zu machen, kann nur 
zu jenen Abirrungen und heillosen Widersprüchen 
fiihren, von denen oben die Rede war. 
Dennoch ist auch dies letztere in der Art, wie 

Hönigswald: Zur Frage: Nichteuklidische Geometrien usw. 
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es von seiten Vaihingers geschehen ist, noch wert- 
voll und verdienstlich. Wertvoll ist diese all- 
seitige Beleuchtung des Begriffs der Fiktion vor 
allem in heuristischer Hinsicht, indem dadurch 
viele Gesichtspunkte und Beziehungen aufgedeckt 
werden, die sonst leicht verborgen geblieben 
wären. Und überhaupt ist ja jedes konsequente 
Durchdenken eines Prinzips immer sehr förder- 
lich, auch dann noch, wenn sich mancherlei Ein- 
seitigkeiten und Irrtümer nicht vermeiden lassen; 
es ist in solehem Falle um so förderlicher, wenn 
es mit so viel Klarheit und Sachkunde auf der 
Grundlage eines umfassenden Wissens geschieht, 
wie das im Werke Vaihingers der Fall ist. In 
diesem Sinne ist es also für die verschiedenartig- 
sten Erkenntnisgebiete, ganz besonders auch für 
die Mathematik und die mathematischen Natur- 
wissenschaften, lehrreich und förderlich, den Ge- 
dankengängen der Philosophie des Als Ob nachzu- 
gehen und auch diejenigen wissenschaftlichen Be- 
eriffe, die man als Fiktionen keineswegs anzu- 
sehen vermag, doch zunächst einmal unter der 
Leitung des vorliegenden Werkes ganz so zu be- 
trachten, als ob sie Fiktionen wären. 
Zur Frage: 
Nichteuklidische Geometrien und 
Raumbestimmung durch Messung. 
Von Prof. Dr. Richard Hönigswald, Breslau. 
1. Unter den durch den Begriff und die syste- 
matische Entfaltung der nichteuklidischen Geome- 
trien veranlaßten wissenschaftlichen Streitfragen 
ragen — soweit sie nicht dem eigentlichen Inter- 
essenkreis der Mathematik angehören — insbeson- 
dere zwei hervor: das Problem von dem apriorischen 
Charakter geometrischer Urteile und die Frage 
nach der tatsächlichen Beschaffenheit ‚unseres 
Raumes“. Das erstgenannte Problem könnte nur 
im Rahmen umfassender erkenntnistheoretischer 
Erwägungen diskutiert werden. Ist es doch ohne 
scharfe Bestimmung und kritische Analyse des 
methodischen Begriffs der Apriorität nicht einmal 
zu exponieren, geschweige denn zu lösen. — An- 
ders die zweite Frage. Ungeachtet der Fülle er- 
kenntnistheoretischer Beziehungen, in die auch sie 
sich unweigerlich eingliedert, gestattet sie doch 
aus ganz bestimmten methodischen Gründen eine 
vergleichsweise geschlossene kritische Betrach- 
tung. Und da sie überdies dem Interessenkreis des 
theoretischen Physikers vielleicht auch näher steht, 
so mag ihr diese kurze, prinzipielle Überlegung 
gewidmet sein. 
2. Wir stellen die Frage nach der geometrischen 
Beschaffenheit ‚unseres Raumes“ in der Form 
einer These zur Diskussion, deren sich die Vertei- 
diger des Gedankens einer experimentellen Be- 
stimmbarkeit des Erfahrungsraumes gern zu be- 
dienen pflegen. Die Beschaffenheit ‚unseres 
Raumes“ sei, so argumentiert man, von der mathe- 
matischen Einsicht in die Gesetzlichkeit der eukli- 
