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Besprechungen. 
Runge, C., Graphische Methoden. Leipzig und Berlin, 
B. G. Teubner, 1915. 80 142 S. und 94 Fig. im 
Text. BreisaMen 
Das Buch enthält die Übersetzung der Vorlesungen, 
die der Verfasser als Austauschprofessor im Winter- 
semester 1909/10 in New York abgehalten hat, und die 
unter dem Titel „Graphical Methods“ im Jahre 1912 in 
New York in englischer Sprache erschienen sind. Das 
Gebiet, in das der Leser durch das Buch eingeführt 
wird, behandelt die zeichnerische Lösung analytischer 
Probleme und ist besonders für die Anwendungen der 
Mathematik auf physikalische, astronomische und tech- 
nische Fragen, wie sie aus der Praxis heraus an den 
Mathematiker herantreten, von großer Wichtigkeit. 
Der Inhalt zerfällt, abgesehen von einer das Wesen 
der angewandten Mathematik besprechenden Einlei- 
tung, in drei Kapitel, mit den Überschriften: Graphi- 
sches Rechnen, graphische Darstellung der Funktionen 
einer oder mehrerer unabhängiger Veränderlichen, die 
graphischen Methoden der Differential- und Integral- 
rechnung. Im ersten Kapitel findet man unter anderem 
die graphische Auflösung algebraischer Gleichungen 
und Gleichungssysteme sowie die graphische Behand- 
lung komplexer Zahlen, mit einer Anwendung auf die 
Darstellung gedämpiter erzwungener Schwingungen. 
Das zweite Kapitel enthält die wichtigsten Teile aus 
dem Gebiete der Nomographie; ausführlich wird das 
Prinzip des Rechenschiebers und verwandter Instru- 
mente auseinandergesetzt. Das dritte Kapitel lehrt die 
graphische Auswertung von Integralen, besonders die 
Bestimmung von Flächeninhalten, statischen Momen- 
ten, Trägheitsmomenten usw. bei willkürlich gegebenen 
Begrenzungen, dann aber vorzüglich die graphische In- 
tegration von gewöhnlichen Differentialgleichungen 
erster Ordnung und von Systemen solcher Differential- 
gleichungen. Diese graphischen Integrationsverfahren, 
die vielfach vom Verfasser selbst herrühren, sind nicht 
nur an sich ungemein reizvoll, sondern sie haben auch 
den Vorzug, bei physikalischen und technischen Proble- 
men selbst da zum Ziele zu führen, wo die analytischen 
Methoden schlechterdings versagen. Das ist z. B. dann 
der Fall, wenn die Funktionen, um deren Integration 
es sich handelt, oder die Koeffizienten der Differential- 
gleichung empirisch gegeben sind. Die Genauigkeit 
der Verfahren ist so groß, wie sie überhaupt auf einer 
guten Zeichnung erhalten werden kann, und daher für 
die meisten Zwecke der Praxis vollkommen aus- 
reichend. 
Für Physiker und Ingenieure sowohl, wie für ange- 
wandte Mathematiker, wird das Studium des ausge- 
zeichneten Werkes unerläßlich sein; denn es ist kein 
Zweifel, daß die graphischen Methoden in Zukunft 
mehr und mehr da eingreifen werden, wo die Analysis 
den angewandten Disziplinen ihre Dienste verweigert. 
R. Rothe, Berlin. 
Hjelmslev, Joh., Geometrische Experimente. Aus dem 
Dänischen übersetzt von A. Rohrberg. Beihefte 
zur Zeitschrift für math. u. naturw. Unterricht, 
Nr. 5. Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1915. 
68 S. und 56 Abbildungen. Preis M. 2,40. 
Den Grundgedanken der vorliegenden kleinen 
Schrift Können wir am besten an einem Beispiel er- 
läutern: Es sind von einem konvexen Vieleck die 
Seiten gegeben. Man soll es so zeichnen, daß es 
einem Kreise, dessen Halbmesser zu bestimmen bleibt, 
einbeschrieben ist. Dann gibt es einen einfachen Weg 
Besprechungen. 
[ Die Natur- 
- wissenschaften 
zur Lösung der Aufgabe, der aber ganz anders ge- 
artet ist als die gebräuchlichen Lösungsarten der 
Schulgeometrie. Man trägt die gegebenen Seiten des 
Vielecks in einem beliebigen, nur genügend großen 
Kreise der Reihe nach als Sehnen ab. Der Strecken- 
zug wird sich dann nicht zu einem Vieleck schließen, 
sondern es wird ein Stück fehlen. Man verbindet nun 
die Ecken des Streckenzuges mit dem Kreismittel- 
punkte und schneidet die ganze so entstehende Figur 
aus, indem man die ins Innere der Figur falleuden 
Verbindungslinien mit dem Mittelpunkte falzt, so 
daß man die ausgeschnittene Figur zu einer Pyramide 
zusammenbiegen kann. Stellt man diese Pyramide 
auf das Zeichenblatt, so ist ihre Grundfliiche das ge- 
suchte Vieleck. Man sieht in der Tat sofort, daß es 
die richtigen Seiten hat und einem Kreise einbe- 
schrieben ist. Wenn man dieses Lösungsverfahren be- 
trachtet, so erkennt man sofort, daß es ebenso sicher 
zum Ziel führt wie die herkömmlichen Konstruk- 
tionen mit Zirkel und Lineal. Die Beschränkung auf 
die bloße Zeichnung und einen bestimmten Gebrauch 
von Zirkel und Lineal ist eine künstliche und will- 
ktirliche. Sie ist nur als ein wissenschaftlicher Sport 
zu begreifen, den die Griechen aufgebracht haben, und 
selbst wenn sie als solcher geistesbildende Kraft be- 
sitzt, so ist das Monopol dieser bestimmten Beschrän- 
kung in den Konstruktionsmitteln nicht zu verstehen. 
Es lassen sich derart unzählig viele Bestimmungen 
über die für die Lösung erlaubten Konstruktions- 
mittel ersinnen, die. ebenso berechtigt sind. Wo es 
sich aber um die praktische Lösung einer. geome- 
trischen Aufgabe handelt, ist eine solche Einengung 
überhaupt verkehrt. Man hat dann zu suchen, den 
einfachsten und sichersten Weg herauszufinden, der 
zur Lösung führt, ohne die Mittel zur Lösung von 
vornherein künstlich zu beschränken. Sonst erschwert 
man sich nutzlos die Arbeit. Nehmen wir an, es 
handele sich darum, was sehr häufig vorkommt, den 
Abstand eines Punktes von einer geraden Linie zu 
finden. Dieser Abstand ist mit einem Stechzirkel 
sofort zu ermitteln, indem man die eine Spitze in dem 
betreffenden Punkt einsetzt und die andere Spitze so 
nahe heranschiebt, daß sie beim Herumdrehen des 
Zirkels noch eben die gerade Linie streift. Es braucht 
dabei nicht eine einzige Linie gezogen zu werden. 
Das herkömmliche zeichnerische Verfahren dagegen 
verlangt nicht weniger als das Zeichnen von drei 
Kreisen und einer geraden Linie, auf der dann erst 
der gesuchte Abstand gemessen wird. Daß man so 
nicht praktisch zum Ziele kommen kann, liegt auf 
der Hand. Der geometrische Schulunterricht läßt 
aber darüber den Schüler meist im unklaren. Darum 
ist die vorliegende kleine Schrift außerordentlich ver- 
dienstvoll, weil sie zeigt, wie man von Fall zu Fall 
die praktisch einfachste Läsung zu suchen hat, ohne 
sich durch ein überkommenes Vorurteil 
zu lassen. 
praktischen Zeichnen längst zu Hause, der Gebrauch 
von Reißschiene und Zeichendreiecken gehört durch- 
aus dazu. 
vorliegende Problem systematisch behandelt worden. 
Eine solche systematische Behandlung jedoch ist wohl 
am besten geeignet, eine Bresche in die Mauer von 
Vorurteilen zu legen, die unseren mathematischen 
Schulunterricht umgibt. 
IH. E. Timerding, Braunschweig. 

einengen - 
In Wirklichkeit ist natürlich das geome- # 
trische Experiment im Hjelmslevschen Sinne beim 
Aber noch nie ist meines Wissens das hier _ 


