

DIE NATURWISSENSCHAFTEN | 
Herausgegeben von > 
Dr. Arnold Berliner una Prof. Dr. August Pütter 

Zweiter Jahrgang. 

Uber die Vorzüge der Vektorrechnung!). 
Von Dr. P. P. Ewald, München. 
Die Vektorrechnung verdankt ihre allgemeine 
Einführung und Anerkennung dem in allen 
Zweigen der exakten Naturwissenschaften neu er- 
wachten Bestreben nach einer formal ein- 
fachen, durchsichtigen und handgreiflichen Dar- 
stellungsweise. Sie wird nicht deshalb bevorzugt, 
weil sich mit ihrer Hilfe mathematische Wahr- 
heiten finden ließen, die sonst aus der Tiefe der 
Erkenntnis nicht zu schürfen wären, sondern ihre 
Bedeutung ist im Gegenteil im Formalen er- 
schöpft. Sie ist nichts als eine Kurzschrift der 
alten mathematischen Gleichungen, soweit sie 
von räumlichen Verhältnissen handeln. Es besteht 
ein anderes Verhältnis zwischen Vektorrechnung 
und der alten Art (die ich Komponentenrechnung 
nennen will), als zwischen projektiver (oder 
synthetischer) und analytischer (Geometrie. 
Zwischen diesen herrscht ein viel größerer Unter- 
schied: der ganze Unterschied des geometrischen 
Denkens vom algebraischen. Die Vektorrechnung 
hingegen ist nichts als eine abgekürzte Nieder- 
schrift der gleichen Gedankengänge, die beim 
Komponentenrechnen gebraucht werden; es wer- 
den also keine verschiedenen menschlichen Fähig- 
keiten benutzt, wie im Fall der zwei Arten, Geo- 
metrie zu treiben. 
Daher kommt es auch, daß die Vektorrechnung 
keine wichtigen Sätze selbständig hervorgebracht 
hat. Die größen Sätze waren der Komponenten- 
rechnung längst bekannt und tragen ihre Namen 
nach Gauß, Green und Stokes, Forschern, denen 
das formale Umgehen mit Vektoren unbekannt 
Fwar. 
Trotzdem birgt die Vektorrechnung ungeheure 
Vorteile, eben jene Erleichterungen bei der Ar- 
beit, die ein zweckmäßig eingeführtes Zeichen- 
system mit sich bringt. Sie erlaubt die erschauten 
Zusammenhänge, direkt in Formeln umzusetzen 
und so der Macht eines fertig bestehenden Sy- 
stems der Verarbeitung zu unterwerfen. Sie er- 
leichtert also einen der schwierigsten Vorgänge 
bei mathematischen Untersuchungen: den Über- 
gang vom Begriff, der plötzlich in räumlicher 
Durchsichtigkeit klar wird, zur ersten Gleichung, 
die das formal weiter zu behandelnde Produkt 
dieser Erkenntnis ist. 
Ein analoger Vorgang dürfte die Konzeption 
1) Die Naturwissenschaften haben zwar die Bericht- 
erstattung über die reine Mathematik nicht in ihr 
Programm aufgenommen, wohl aber die Berichterstat- 
tung iiber die Fortschritte in der mathematischen Be- 
handlung der Naturwissenschaften und der Technik. 
i Die Schriftleriung. 

Nw. 1914. 
6. März 1914. 
Heft 10. 
eines Akkords beim Komponisten sein. Auch ihm 
schwebt plötzlich ein dem Wesen nach einheit- 
licher Eindruck vor — und um ihn niederzu- 
schreiben, muß er ihn auflösen und in Bestandteile 
zerlegen. Die Vektorrechnung der Musik würde 
einen Akkord durch ein Zeichen wiedergeben, und 
die Harmonielehre wäre der Inhalt des Formel- 
systems, das diese Zeichen untereinander ver- 
bindet. 
Es hat sich herausgestellt, daß in der Vektor- 
rechnung, wie auch sonst häufig, die rein mathe- 
matischen Bedürfnisse denen der mathematischen 
Physik parallel gehen und daß sich zweck- 
mäßigerweise die Definitionen der Vektor- 
rechnung den Begriffen der Physik eng an- 
schließen. In welchem Maße dies der Fall ist, 
soll nachher an einigen Beispielen gezeigt 
werden. Hier sei noch etwas über den Inhalt des 
Formelsystems der Vektorrechnung gesagt: 
Was ist zunächst ein Vektor? Die Antwort 
ist: ein Pfeil von bestimmter Länge. Man begeg- 
net in der Physik zwei Arten von Größen: die 
einen sind durch eine Maßzahl völlig bestimmt, 
die anderen bedürfen zur vollen Beschreibung 
außer der Maßzahl die Angabe einer Rich- 
tung. Die ersten heißen Skalare, die zweiten 
Vektoren. Skalare sind z. B.: Masse, Volumen, 
Wärmemenge; Vektoren sind Kraft, Geschwindig- 
keit, Impuls, elektrische Feldstärke. Das geo- 
metrische Bild eines Vektors ist ein Pfeil von .be- 
stimmter Länge und Richtung, und da die Vektor- 
formeln allein die geometrischen Eigenschaften 
der Vektoren aussagen, einerlei welche physika- 
lische Größe unter dem Pfeil verstanden wird, so 
ist die obige Erklärung: Vektoren sind Pfeile, 
wohl erlaubt. 
Die Vektorrechnung oder besser Vektoralgebra 
behandelt die Beziehungen einzelner Vektoren. 
Sie lehrt die Addition und Multiplikation und 
bildet die Grundlage der Vektoranalysis, in wel- 
cher die Methoden der Differential- und Integral- 
rechnung auf Vektorfelder angewandt werden. 
Unter einem Vektorfeld ist dabei ein Raumteil 
verstanden, wo in jedem Punkt ein gewisser 
Vektor existiert. Man stelle sich strömendes 
Wasser vor und denke in jedem Punkt die Ge- 
schwindigkeit d des Wassers als Pfeil aufge- 
tragen, so hat man ein Vektorfeld vor sich. Oder 
man betrachte ein elektrisches Feld und trage an 
jedem Punkte den nach Größe und Richtung be- 
stimmten Pfeil der elektrischen Kraft € ein. Es 
ist einleuchtend, daß solche Vektorfelder gewisse 
rein geometrische Eigenschaften gemeinsam 
haben — und diese bilden den Inhalt des Formel- 
systems der Vektoranalysis. 
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