Ewald: 
I. Addition. 
Bereits das Zeichen + hat in der Vektor- 
rechnung eine Bedeutung, die sich dem physika- 
lischen Bedürfnis gänzlich anpaßt. Die (sog. geo- 
metrische) Addition geschieht nach der Parallelo- 
grammregel, wie sie bei der Addition von Kräften, 
Geschwindiekeiten usw. geläufig ist. 
Während die Addition zweier Skalare 
Größe 1 einen Skalar von der Größe 2 
(1 Calorie + 1 Calorie = 2 Calorien), hängt 
die Größe des Vektors c=a+b ganz von 
dem Winkel zwischen a und b ab. Als Größe oder 
Betrag eines Vektors ist dabei seine Länge defi- 
niert — ohne Rücksicht auf seine Richtung. Der 
Betrag |c | des Vektors c ist mithin eine skalare 
Größe. 
Die Additionsregel erläutert deutlich das rein 
formale Wesen der Vektorrechnung, insofern, als 
sie auf die „Komponenten“ eines Vektors führt. 
von der 
ergibt, 
Jeder Vektor kann durch Addition aus 3 Vektoren 
Richtung 
von beliebiger!) aufgebaut werden, 

Fig. 1 
welche die „Komponenten des Vektors längs 
diesen Richtungen“ genannt werden. Im beson- 
deren können die drei Richtungen mit den Achsen 
eines Koordinatensystems (xyz) zusammen- 
fallen, und man kann alle in einer Untersuchung 
vorkommenden Vektoren in ihre Komponenten 
längs (x, y, z) auflösen. Statt mit einem Vektor a 
rechnet man dann mit drei ihm völlig gleichwer- 
tigen Komponenten ds, dy, Q, und dies ist die 
alte Methode, die „Komponentenrechnung“. 
Die Nebeneinanderstellung von Vektor- und 
Komponentenschreibweise geschieht in folgender 
symbolischen Gleichheit: 
= (0: Ns de) 
welche sagt, daß die drei Komponenten, durch 
welche in der alten Schreibweise der Vektor be- 
schrieben wird, in der neuen Bezeichnung durch 
den Buchstaben a zusammengefaßt sind. Alle 
Überlegungen der Vektorrechnung sind durch die 
dreifache Anzahl von Gleichungen zwischen Kom- 
ponenten ebenfalls zu führen, und die Vektorrech- 
nung zeitigt keine ihr eigentümlichen Resultate. 
II. Multiplikation. 
Es werden zwei Weisen definiert, um zwei Vek- 
toren zu einem Produkt zu vereinigen. Die beiden 
Operationen, welche Multiplikation genannt wer- 
den, stehen ebenfalls im engsten Zusammenhang 
mit physikalischen Größen. Das Produkt der 
Vektoren a und b hängt nicht nur von den Längen 


1) Einschränkung: die 3 Riehtungen dürfen nicht in 
einer Ebene liegen. 
Über die Vorzüge der Vektorrechnung. 
| Die Natur- 
wissenschaften — 
der Vektoren ab, sondern auch von ihrer gegen- — 
seitigen Lage, d. h. dem Winkel .%, den sie ein- 
schließen. | 
A. Das skalare Produkt. Besondere Bedeutung ~ 
besitzt in der Physik das Produkt der Länge eines 
Vektors in die Länge derjenigen Komponente 
eines zweiten Vektors, welche in die Richtung des 
ersten fällt. Sei z. B. der erste Vektor der zurück- | 
gelegte Weg bei einer geradlinigen Bewegung, der ~ 
zweite Vektor eine Kraft, welche an dem sich be- 7] 
wegenden Körper angreift (Vektoren 8 und %). 
Dann ist die Arbeit, welche von der Kraft bei der 
Bewegung geleistet wurde, gleich dem Produkte 
von | 8 | (Länge. oder Betrag von $) n die Kom- 
ponente von %, welche in die Richtung von 8 
fällt, und deren Länge | % | cos ist. 
Oder es sei u die Geschwindigkeit des Kör- 
pers, so ist 

| % | ‘cos a 
die Leistung der Kraft. 
Hier sind aus den zwei Vektoren % und $ 
resp. u durch Bildung des Betrages zwei Skalare 
hergestellt worden, die nach der gewöhnlichen Art 
multipliziert werden können. Es entsteht ein 
Ausdruck, der das Produkt dieser Vektoren ge- 
nannt werden muß. Da die Arbeit, Leistung, 
Energie und andere analog zu bildende Größen 
Skalare sind, so wird allgemein dem Produkt 
(ab) = |.a F*1B | cos Goa 
keine Richtung beigelegt, und es wird ,,skalares 
Produkt von a und 6“ genannt (Zeichen: runde 
Klammern). ; 
Ungleich dem Produkt ab von Skalaren ver- # 
schwindet das ,,skalare Produkt“ (ab) nicht nur, 
wenn der Betrag eines der Glieder Null ist, sondern 
auch dann, wenn die Vektoren aufeinander senk- 
recht stehen. Diese Tatsache kann oft mit Vorteil 
[ul- 


7 
x $ (ut) 
Mess, 9: 
dazu benutzt werden, um die Bedingung auszu- 
drücken, daß zwei Richtungen senkrecht zuein- 
ander sind. Zu dem Zweck versteht man unter 
a und b Einheitsvektoren, d. h. Vektoren von der 
Länge 1, welche die betreffenden Richtungen 
haben, und schreibt nun die Bedingung: 
(ab):= 0...) Dee 
Sind andrerseits a und b einander parallel, 
so ist (ab) = |a|' |b|, d.h. gleich dem Pro- 
dukt der Maßzahlen. | 
Bei der skalaren Multiplikation von Ve 
gilt das distributive Gesetz: ((a+b).c) = 
(ac) + (bc). Dies ist sofort ersichtlich, weil die 
Komponente lings c des Vektors (a+) gleich 
der Summe der Komponenten von a und yon b- 
ist (vgl. Fig. 3). Unter Benutzung dieser. 
Tatsache läßt sich die Komponentenschreib- 







