(a. b)=(ae+ay+ az) (62+ by + 6) 
= (tebe) + (ay by) + (az bz) + (ae by) 
Die 6 letzten skalaren Produkte sind Null, weil 
die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, während 
im den ersten 3 Produkten die Vektoren parallel 
sind und daher nach der obigen Bemerkung das 
skalare Produkt gleich dem Produkt der Längen 
del; ... ist. Versteht man jetzt (wie gewöhnlich) 
unter dz, ..., bz die Längen der Komponenten 
von a und b (also Skalare), so ist 
eb ay by tb, 
Dies ist die Darstellung des skalaren Produktes 
durch die Komponenten der Vektoren. 
Ein einfaches Beispiel für die Art, wie die 
| gewöhnlichen Formeln der analytischen Geome- 
| trie mit den Vektorformeln zusammenhängen, 
















bildet die fundamentale Formel, welche das Senk- 
rechtstehen zweier Richtungen (@, ß, y) und 
| (9, Po 70) ausdrückt: 
im cosa@cosa,-+ cos f cos8)+ cosycosy=0..(8 
|  Kennzeichnet man nämlich die erste Rich- 
) tung durch den Einheitsvektor a, so sind dessen 
| Komponenten gerade 
Ne COS A, .0y— C08d, a,= cos Y 
"und ähnlich sind die Komponenten des Einheits- 
vektors b, der die zweite Richtung festlegt: 
| COS &p, COS Bo, 08 You. Die Gleichung (3) der analyti- 
schen Geometrie ist also nichts anderes, als Glei- 
chung (1), in welche vermittels (2) die Kompo- 
‚ nenten der Einheitsvektoren eingeführt sind. 
Das skalare Produkt ist das typische Beispiel 
‚für die Unmittelbarkeit der Darstellung in der 
| Vektorschreibweise. Wie schwierig ist jedesmal 
‘der Übergang von der Operation: „man projiziere 
‚den Vektor b auf a und multipliziere die Länge 
‚von a mit der Länge der Projektion“ bis zur Dar- 
| stellung dieses Vorganges durch die Komponenten 
|von a und Jb, d. h. durch die rechte Seite der 
| Gleichung (2)! Die Vektorrechnung führt für 
die oft angewandte Operation ein besonderes 
| Zeichen ein (die runde Klammer), so daß sich die 
+ (te bz) + (y be) + Wy bz) + (az be) + (az bz). 

7 BS oid Kwald: Uber die Vorzüge der Vektorrechnung. 219 
weise des #skalaren Produktes erhalten. Zu anschauliche Handlung sofort niederschreiben 
dem Zweck stelle man sich a und b aus läßt, und die obige Formel sorgt automatisch für 
den zueinander senkrechten Vektoren (Kom- die Umsetzung dieses Zeichens in die alte Schreib- 
ponenten) A,0,a;, und b.b,b, aufgebaut vor; weise, wenn sie gewünscht wird. 
es ist also a=qa,—+ a,+ a;,, wo das Zeichen + die B. Das Vektorprodukt. Bedeutet i einen elek- 
geometrische Addition bedeutet und wo az,...,6,  trischen Strom (der ja auch Richtung und Inten- 
fiir den Augenblick Vektoren von der Richtung sität hat und somit ein Vektor ist), und 9 eine 
x, y, z sein sollen. Man hat nach dem obigen magnetische Kraft, welche ihn beeinflußt, "so er- 
| Satz fährt der Strom nach dem Biot-Savartschen Ge- 
setz eine ablenkende Kraft %, die der Größe von 
i, der Größe von und dem Sinus des von i und 
S eingeschlossenen Winkels «9% proportional ist und 
sowohl auf t wie auf 9 senkrecht steht. Die 
Kraft ist also durch einen Pfeil darzustellen, der 
Lt, steht und dessen Länge 
Peas) re, 
ist. 1, Ö und der Sinn des Pfeiles müssen dabei 
ein Rechtssystem bilden '). 
f 
Fig. 4. 
Diese Zusammenstellung von i und ist eine 
zweite Art von Produktbildung zweier Vektoren, 
fiir die in der Vektorrechnung ein besonderes 
Zeichen (die eckige Klammer) eingefiihrt ist. Das 
Produkt [ti 9] selbst ist ein neuer Vektor, genannt 
Vektorprodukt. 
Außer bei den Einwirkungen magnetischer 
Kräfte auf elektrische Ladungen tritt das Vektor- 
produkt in der Kreiseltheorie auf, welche ja 
manche Analogie zur Elektrodynamik hat. 
Überhaupt drücken sich Momente als Vektorpro- 
dukt aus: die Kraft % greife an einem Punkte 
an, der vom Drehpunkt aus am Ende des Vektors 
t liege. ( ist also der gerichtete Abstand vom 
Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft.) Dann 
ist das Moment der Kraft um den Drehpunkt der 
Größe nach gleich dem Betrag von 
8-1. 
Es wird auch am übersichtlichsten durch den 
auf der Drehebene senkrecht stehenden Pfeil [St] 
dargestellt. Addition von Momenten geschieht 
dann durch geometrische Addition der Pfeile. 
Das Vektorprodukt ist nicht eigentlich wie die 
bisher betrachteten Vektoren eine gerichtete 
Länge, sondern ein Flächenstück von bestimmter 
Lage und mit bestimmtem Umlaufssinn. Sind 
1) Um zu entscheiden, daß die Vektoren j, 9 und 
% ein Rechtssystem bilden, bewege man den Vektor i 
so wie den Griff eines Korkziehers, der in den Kork 
geschraubt wird. Bei dieser Bewegung muß 1) i aut 
dem kürzesten Wege in die Richtung von 9 gelangen 
und 2) i im Sinne des Pfeiles % sich verschieben. 
Fig. 4 zeigt das Rechtssystem ji, 5, %. Ein Links- 
system erhält man daraus durch Vertauschung von i 
und § oder durch Umkehrung des Pfeiles %- 
