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a und b die zu multiplizierenden Vektoren, so 
ist nämlich das Vektorprodukt am unmittelbar- 
sten zu definieren als das aus a und b zu bildende 
Parallelogramm, dessen Inhalt|a|.|b | sin % 
ist, und welchem der Umlaufssinn: erst a 
dann b, zuerteilt ist. Dieses Flächenstück wird 
nach Graßmanns Vorgang durch den Pfeil er- 
gänzt und dargestellt, der senkrecht auf ihm 
steht, eine Länge hat, die dem Flächeninhalte pro- 
portional ist und mit den Vektoren a und b (in 
dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem bildet 
(Fig. 5). Erst der Ergänzung ist es zu danken. 
daß das Vektorprodukt sich unmittelbar in das 
System der Vektoralgebra einfügt. Immerhin 
bleibt dort, wo ein Wechsel von einem Rechts- 
in ein Links-Koordinatensystem stattfindet, die 
Wesensverschiedenheit des Vektorproduktes vom 
gewöhnlichen Vektor bemerklich. 
[a] 
be 5 a 
> 
u AR ee 
Fig. 5. 
Wie aus der Definition des Rechtssystems er- 
sichtlich, gilt 
a) [ba], 
das commutative Gesetz der Multiplikation ist 
aufgegeben. 
Hingegen bleibt das assoziative Gesetz be- 
stehen und gestattet, das Vektorprodukt durch 
die Komponenten auszudrücken, wie es oben beim 
skalaren Produkt geschah. Ersetzt man nämlich 
die Vektoren a und 6 durch die Summe aus 3 nach 
den Achsen gerichteten Vektoren az+ay+ az, 
b2+b,+ bz (vergl. oben), so zerfällt das Produkt 
in § Einzelprodukte : 
[Caz + a, + az) .(6.+ 6, + bz ) | 
=z bel +z by] + az bz! 
te Belt Willig Oy = la 82 
+ [az bx] + [az by + [az bz] 
Von diesen sind drei Null, weil die Vektoren 
parallel sind. Die weiteren 6 zerfallen in Paare 
von gleicher Richtung des Produktpfeils. Z. B. 
haben die Produkte la, by] und fa, bz] die 
Richtung z, da die Vektoren die x- oder y-Rich- 
tung besitzen. Der erste Vektor [az by] ist — bei 
positiven Vektoren a, und b, längs der posi- 
tiven z-Achse eines rechtshändigen Koordinaten- 
systems gerichtet, der zweite [a, bs] wegen der 
Reihenfolge nach der negativen z-Achse (ay, by 

positiv!). Da ferner das Vektorprodukt zweier 
aufeinander senkrechter Vektoren gleich dem 
Produkt der Beträge ist, so ist der gesamte An- 
teil von [ab], der längs + z gerichtet ist, 
Oe a 73 Ay ba $) 
jetzt wieder die (skalaren) 
wenn unter Gs, % 
Ewald: Uber die Vorzüge der Vektorrechnung. 
[ Die N we ‘ 
Längen der Komponenten von a und b verstanden — 
werden. 
Man erhält als die drei Komponenten des } 
Vektorproduktes 
[a Ble ="ay bz — az by 
la bl, = 0, bs = a, 
[a blz = Ae by — ay be 
Die rechtsstehenden Größen würde man auch — 
erhalten haben, wenn man das Parallelogramm — 
[ab] nacheinander auf die drei Koordinaten- 
ebenen projiziert hätte. Die «-Komponente [ab], 
. : iE % 
ist auch aufzufassen als die „Ergänzung“ zu der 
Projektion des _Parallelogramms auf die 
zu 
x senkrechte y-z-Ebene. ; 
Bei der Komponentendarstellung des Vektor- — 
produktes zeigt sich in noch höherem Maße als ; 
beim skalaren Produkt, wie schwer der physika- 
lisch wichtige Begriff sich in der alten Schreib- — 
weise ausdrücken läßt, und welche Denkersparnis 
das Zeichen [ab] in sich birgt. 
III. Die Differentiation von Vektoren. 
In einem Vektorfelde läßt sich der Vektor, 
der zu einem gewissen Punkte gehört, mit dem 
Vektor vergleichen, der zu einem benachbarten 
Punkte gehört. ‚Wenn beide Vektoren verschieden 4 
sind, so ist ihre Differenz wieder ein Vektor, näm- 
lich jener kleine Pfeil, der zu dem zweiten Vektor 
addiert werden muß, um den ersten Pfeil zu er- — 
geben. Nennen wir die beiden Vektoren dı und Ds 
und die Entfernung der 
Differentialquotient des Vektors vd 
dv lim dı—da 
Say Ss 
genau wie bei einer skalaren räumlichen Funk- | 
tion v der Differentialquotient gebildet wird: 
dv_ lim %1— % 
Gis sO) s 
In beiden Fällen ist der Differentialquotient 4 
natürlich noch davon abhängig, in welcher Rich- 
tung das Stück s aufgetragen worden ist. Es kann 
sich hier nicht darum handeln, die Regeln des 
Differentiierens von Vektoren systematisch aus- 
einanderzusetzen, sondern es soll nur gezeigt wer- — 
den, welcher Art die Begriffsbildung überhaupt 
ist, und daß der Differentialquotient einer Vek- 
torfunktion (Vektorfeld) selbst wieder ein Vektor 
ist, der durch den Vergleich von Nachbarvektoren | 
entsteht. + 
Es möge nun wieder an einigen Differential- 
operationen gezeigt werden, welch konkrete Be- 
deutungen den Abkürzungen der Vektoranalysis 
innewohnen. 
IV. Die Divergenz: div. 
Eine inkompressible Flüssigkeit, wie Wasser, 
ströme in ganz beliebiger Weise in einem Gefäß, 
Dann — 
strömt in jedes kleine Volumen, das wir für 
die Betrachtung herausgreifen mögen, ebensoviel — 
welches weder Zufluß noch Abfluß habe. 
wissenschaften 
Punkte s, so ist ders 

