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6.8. 1914] 
















































§ Wasser ein wie aus. Ware es anders, so wiirde 
dieser Raumteil mit Wasser überladen resp. davon 
_ entblößt werden. Trägt man die Geschwindigkeit » 
des Wassers als Vektorfeld auf, so äußert sich 
natürlich diese Tatsache als geometrische Eigen- 
_ tümlichkeit des Vektorfeldes. — Andrerseits möge 
in dem Gefäße nun ein Zufluß angebracht wer- 
den. Dann ist in einem Raumteil, welcher die 
| Einflußöffnung umschließt, diese Eigentümlich- 
keit verloren gegangen: die Öffnung wird zur 
scheinbaren Quelle, aus der Wasser ins Innere 
des Gefäßes fließt. Die Ergiebigkeit der Quelle 
ist aus der Geschwindigkeitsverteilung in ihrer 
- Umgebung zu ersehen; div » mißt die Er giebigkeit. 
Enie Definition von de ist so: man berechne 
den gesamten Einfluß #.dS in das Volumelement 
ds, ferner den gesamten Ausfluß A.dS, so ist 
= div vu = A — iB; 
divv ist ein Skalar. 


Der genannte Ein- und Ausfluß in 
dS läßt sich entweder als Oberflachenintegral 
über das Volumelement erhalten, oder als 
Differenz des Flusses 
| durch gegeniiberliegende 
| Seiten des 
, Volumelementes, d. h. mittels der 
| Differentialquotienten des Geschwindigkeits- 
_feldes. Das Öberflächenintegral ist die un- 
mittelbare Definition der Operation div, wäh- 
| rend die zweite Betrachtung ein Koordinaten- 
| system erfordert und daher den Anschluß an die 
| Komponentenrechnung mit sich bringt. Die Aus- 
; sage, daß der Differentialausdruck gleich dem 
| Oberflächenintegral ist, ist der Inhalt des Gauf- 
schen Satzes. 
Der Begriff der Divergenz ist in der ganzen 
| Physik von größtem Nutzen. Handelt es sich 
_z. B. um die elektrische Kraft ©, so ist diese über- 
all derart verteilt, daß div ®=0, mit Ausnahme 
| derjenigen Stellen des Raumes, wo sich eine elek- 
| trische Ladung befindet. Allein aus den Ladun- 
gen treten nämlich die elektrischen Kraftlinien 
aus, wie die Stromlinien des Wassers aus der 
_ Quelle. Dies sagt die eine Maxwellsche Gleichung: 
a GINS Ss Oy aes 5 eS 
wo @ gleich der Dichte der elektrischen eee 
ist. Die andere Gleichung: 
Am | 
I lehrt, daß die magnetischen Kräfte anders ver- 
teilt sind: es gibt keine isolierten Magnetpole, 
| d. h. unkompensierte magnetische Ladungen. 
[Bi V. Die Rotation: rot. 
- Der Begriff der Rotation wird auch an der 
Strömung von Wasser am klarsten gemacht. Man 
_ denke sich nämlich kleine Stäbchen im 
| Wasser schwimmend — dann sind zwei Arten von 
Bewegungen unterscheidbar: entweder die Stäb- 
chen bleiben ihrer Anfangslage dauernd parallel, 
oder sie verändern ihre Orientierung im Laufe der 
Bewegung. Die „Rotation“ des Geschwindigkeits- 
‚ feldes p, rot , ist die Winkelgeschwindigkeit 
I 
Nw 1914 
Ewald: Über die Vorzüge der Vektorrechnung. 221 
dieser Hölzehen und daher Null, wenn sie keine 
Drehung erfahren. 
Bei der Drehung einer starren Scheibe nimmt 
die Verbindungslinie zweier benachbarten Teil- 
chen alle Lagen, deren sie fähig ist, im Laufe einer 
ganzen Umdrehung an. Die Rotation des Ge- 
schwindigkeitsfeldes einer „starren Drehung“ ist 
daher die Winkelgeschwindigkeit ® der Drehung 
und in dem ganzen Geschwindigkeitsfeld konstant. 
rot db ist ein Differentialausdruck, denn die 
Drehung eines Stäbehens hängt von dem Unter- 
schied der Geschwindigkeiten an seinen End- 
punkten ab. Wie div db, so läßt sich aber 
auch rot » als Integral schreiben, denn die 
Drehung des Stäbchens ist der Mittelwert 
der Tangentialkomponente von b längs der 
Oberfläche des Hölzchens. Es gibt also wieder 
zwei Arten, rot d auszudrücken: durch Differen- 
tialquotienten der Vektorfunktion d, wobei ein 
Koordinatensystem zugrunde gelegt wird; oder als 
Integral, wobei das Koordinatensystem überflüssig 
ist. Die Gleichsetzung beider Ausdrücke liefert 
den Stokesschen Satz. 
Entsprechend dem Charakter einer Winkelge- 
schwindigkeit ist die Rotation eine Fläche von 
bestimmter Größe mit Umlaufssinn; diese wird 
wie beim Vektorprodukt durch die „Ergänzung“, 
den senkrecht stehenden Pfeil, bequem dargestellt. 
In der Mechanik ist die ,,Rotation“ nützlich, 
sobald es sich um Drehungen handelt, also in der 
Kreiseltheorie usw. In der Hydrodynamik wird 
die Rotation mit den Wirbeln identifiziert: 
rot d = 0 bedeutet, daß keine Wirbel bei einer 
Flüssigkeitsbewegung vorhanden sind. In der 
elektromagnetischen Theorie zieht eine Wirbe- 
lung der elektrischen Feldstärke & die Entstehung 
einer magnetischen Kraft nach sich: 
40» ee N 
t = Zeit 
und umgekehrt erzeugt eine wirbelartige Vertei- 
(6 
lung der magnetischen Kräfte ein elektrisches 
Feld: 
5 
a ae = TOW! A) . A B 7 . (7 
Choe 
Die vier Gleichungen (4, 5, 6, 7) bilden zu- 
sammen das System der Maxwellschen. Gleichun- 
gen in der Schreibweise der Vektoren, und die 
Grundlage der gesamten Elektrodynamik und 
Optik. In der Komponentenschreibweise treten an 
Stelle der beiden letzten Gleichungen 6 Gleichun- 
gen zwischen Komponenten. 
*% 
Mit der Einführung dieser und weiterer Be- 
eriffe ist der Inhalt der Vektorrechnung natür- 
lich nicht erschöpft, vielmehr setzt hier der An- 
fang eines großartigen formalen Systems ein. Es 
gilt ja, die Zusammenhänge zwischen den einge- 
führten Begriffen herauszuarbeiten und kurz zu- 
sammenzufassen, damit eine Überlegung, die be- 
reits bis zur ersten Formel gediehen ist, nach über- 
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