




DIE NATURWISSENSCHAFTEN 
Herausgegeben von 
Dr. Arnold Berliner una Prof. Dr. August Pütter 

Zweiter Jahrgang. 
15. Mai 1914. 
Heft 20. 


Nichteuklidische Geometrie und Atom- 
mechanik. 
(Ein Bericht über die Arbeiten von A. Byk.) 
Von Dr. Hans Goldschmidt, Wien. 
I. Geometrischer Teil. 
Hermann von Helmholtz hat in seinem bekann- 
ten Vortrag!) vor dem Heidelberger Dozenten- 
verein wohl zum ersten Male weitere naturwissen- 
schaftliche Kreise darauf hingewiesen, daß die 
Axiome der Geometrie nicht aprioristische Denk- 
notwendigkeiten darstellen, sondern vielmehr Ar- 
beitshypothesen, die nur durch die Erfahrung er- 
wiesen oder widerlegt werden können. Die axio- 
matische Aussage zum Beispiel, daß zu einer Ge- 
raden von einem außerhalb ihrer gelegenen Punkt 
nur eine Parallele konstruierbar sei, oder der hier- 
mit inhaltlich gleiche Lehrsatz von der Konstanz 
der Dreieckswinkelsumme im Betrage von 2 Rech- 
ten ?) sind nicht Postulate unseres logischen Den- 
kens, sondern Charakteristika des Raumes, in dem 
die genannten Gebilde (Parallelen, Dreiecke) lie- 
gen. Sache des Experiments (des möglichst ge- 
nauen Ausmessens der Winkelsumme z. B.) ist es, 
zu entscheiden, ob unser Raum wirklich die 
Eigenschaften besitzt, die ihm durch die Huklidi- 
schen Axiome aufgeprägt werden; ob er also, wie 
man zu sagen pflegt, ein „Euklidischer (E-) 
Raum“ ist. 
Die Erfahrung hat nun für‘ die Geltung der 
Euklidischen Postulate entschieden. Desunge- 
achtet sind aber selbstverständlich Räume mathe- 
matisch möglich und geistig vorstellbar, die aus 
dem Euklidischen durch Aufhebung solcher axio- 
matischer Beschränkungen ° hervorgehen. Ihre 
Geometrie läßt sich in strenger Konsequenz ent- 
wickeln, was zuerst (1829) durch N. J. Lobat- 
schefskiy geschehen ist, und zwar für solche 
Räume, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt, 
in denen also die Winkelsumme eines Dreieckes 
stets kleiner oder stets größer als 2 Rechte ist. 
Und wenn auch heute die „Euklidische 
Natur“ unseres Raumes experimentell für 
Bereiche sichergestellt ist, die selbst in 
astronomischen Einheiten gemessen, als groß 
bezeichnet werden müssen?), so bleibt den- 
1) „Über den Ursprung und die Bedeutung der geo- 
metrischen Azxiome“ (1870), in den „Vorträgen und 
Reden“ 2. Band (4. Auflage), 1896, Seite 3. 
2) Über die anderen Euklidischen Axiome 
v. Helmholtz, 1. c. Seite 5. 
3) Nach Schwarzschild ist die Einheitsstrecke un- 
seres Raumes mindestens gleich 4.10% Erdbahnradien. 
(Uber den Begriff ,,Einheitsstrecke“ siehe weiter 
unten.) 
siehe 
Nw. 1914. 

noch — wie wir alsbald sehen werden 
die Möglichkeit offen, daß „nicht Huklidische“ 
(n.-E.-) Räume auch in unserer Welt vorkom- 
men und hier physikalisch eine vielleicht nicht un- 
bedeutsame Rolle spielen. 
Wir wenden uns daher vorerst der Betrachtung 
solcher n.-E. Räume zu, indem wir uns deren Geo- 
metrie nach Helmholtz’ Vorgange dadurch zu ver- 
anschaulichen suchen, daß wir eine Dimension tie- 
fer steigen. Das heißt: wir denken uns zwei- 
dimensionale, flächenhaft gebaute, verstandesbe- 
gabte Wesen, die auf der Oberfläche irgendeines 
unserer festen Körper lebend nur Längen- und 
Breitenausdehnungen wahrnehmen sollen, denen 
aber die Empfindung der 3. Raumdimension voll- 
kommen mangelt. Leben diese Wesen auf einer 
Ebene, so werden sie die Euklidische Planimetrie 
entwickeln; ihre Dreiecke (die für sie allerdings 
allseitig umschlossene Gebilde sein würden, analog 
unseren Tetraödern) würden, wo immer und in 
welcher Größe auch konstruiert, stets als Winkel- 
summe 2 Rechte ergeben, und das Parallelenaxiom 
wäre in Geltung. Aber dies ist, wie wir sofort 
sehen, nur ein Fall von unendlich vielen gleich- 
berechtigten. Denn prinzipiell kann die ‚Lebe- 
fläche“ unserer Wesen jede beliebige positive oder 
negative Krümmung haben, wobei wir mit Gauß 
als Maß der Krümmung den reziproken Wert des 
Produktes der Hauptkrümmungsradien definieren 
1 ö 2 
| ones ) Das geometrische Mittel der Haupt- 
HYP} 
krümmungsradien aber //@,;.@ 9 wollen wir im fol- 
genden als „Einheitsstrecke“ bezeichnen. 
Es empfiehlt sich hier jedoch, eine Beschrän- 
kung festzusetzen. Wollen wir nämlich, daß die 
Planimetrie unserer zweidimensionalen Lebewesen 
nicht von dem Orte abhänge, an dem sie ihre Ge- 
bilde konstruieren, und daß Kongruenz möglich 
und durch Zueinanderbewegen und Decken der 
betrachteten Figuren erweislich sei, so muß das 
Krümmungsmaß unserer Fläche überall einen 
konstanten Wert besitzen. Sphärische Dreiecke 
lassen sich auf einer Kugeloberfläche ohne jede 
Deformation verschieben und ihre Winkelsumme 
ist örtlich konstant. Aber ein Haubchen, das dem 
stumpfen Ende eines Eies angepaßt ist, müßte 
sich deformieren, um das spitze Ende faltenlos 
zu umschließen, und ein Blatt Papier müßte ela- 
stisch dehnbar sein, um sich einer Kugelfläche an- 
schmiegen zu können. — Wir beschränken also 
unsere Betrachtungen auf Flächen mit konstan- 
ter Krümmung. 
Das einfachste und anschaulichste Beispiel 
hierfür ist die Kugelfläche, auf der ja die Krüm- 
ol 
