478 Goldschmidt: Nichteuklidische Geometrie und Atommechanik. 
mung überall einen konstanten und positiven 
Wert hat, und wo die Einheitsstrecke direkt mit 
dem Radius zusammenfallt. Für unsere zwei- 
dimensionalen Kugelbewohner werden die ge- 
radesten (,„geodätischen“) Linien die Meridian- 
kreise der Kugel sein, und sie werden deren 
„wirkliche“ Krümmung direkt nicht merken, weil 
ja die Ebene dieser Krümmung die als unerkenn- 
bar vorausgesetzte dritte Raumdimension enthält. 
Nehmen wir ferner unsere Geometrie treibenden 
Wesen sehr klein an gegenüber dem Ausmaß ihrer 
Lebefläche, so werden diese Wesen, solange sie 
Figuren ihrer Größenordnung untersuchen, auch 
das Parallelenaxiom und den Satz von der 2 R- 
Konstanz der Dreieckswinkelsumme als Ausdruck 
ihrer geometrischen Erfahrungen bezeichnen. Aber 
mit wachsender Größe ihrer Konstruktionen wer- 
den sich ihnen beide Axiome als Grenzgesetze für 
das unendlich Kleine herausstellen, sie werden 
lernen, daß ihre Geraden in sich zurücklaufen, 
daß auch die anscheinend parallelen sich in zwei 
Punkten schneiden, und daß ein mit dem Flächen- 
inhalte ihrer Dreiecke wachsender ‚„sphärischer 
Exzeß“ über 180° auftritt!). Aus allen’ diesen 
Beobachtungen werden sie indirekt auch auf die 
Krümmung ihre Lebefläche schließen, werden 
deren Einheitsstrecke bestimmen lernen ?) und 
haben hierdurch dann eine „absolute Länge“ er- 
mittelt, auf welche sie all ihre Größen beziehen 
können, und die, örtlich und zeitlich invariant, 
aus jeder sorgfältigen Dreiecksausmessung repro- 
duzierbar ist. 
Analog zu seinem zweidimensionalen Abbild 
verhält sich der sphärische Raum. Auch hier Auf- 
treten einer Einheitsstrecke, in sich zurücklau- 
fende geradeste Linien und sphärischer Exzeß bei 
Dreiecken. Aber für den Raum entspricht dem 
Begriff der Krümmung keine einfache sinnliche 
Anschauung mehr. 
Der Kugel als Fläche konstanter positiver 
Krümmung steht die Pseudosphare als Fläche kon- 
stanter negatiwer Krümmung gleichberechtigt 
gegenüber. Da für negatives Krümmungsmaß 

hr 0 <o) ein Hauptkrümmungsradius positiv, 
ı 02 
der andere negativ sein muß, so enthält diese 
Fläche (die in unserem Raum nur in begrenzten 
Stücken darstellbar ist) einen Querschnitt von der 
Form eines Kreises, den dazu senkrechten aber in 
der Form einer zweiachsigen, ungeschlossenen, 
hyperbelähnlichen Kurve. Dies ergibt im ganzen 
etwa die Form der bekannten, nach der Mitte zu 
eingeschnürten Serviettenringe. Dem negativen 
Krümmungsmaß entsprechend treten bei der 
Pseudosphäre Hyperbelfunktionen®) statt der tri- 
1) Darum gibt es auch keine „ähnlichen“ Dreiecke 
auf der Kugel. 
?) Eben als Verhältniszahl zwischen Flächeninhalt 
und Exzeß, multipliziert mit einer einfachen Zahlen- 
konstante. 
8) Diese sollen im folgenden mit Ein, Col, Tg statt 
sin, cos, tg bezeichnet werden. Zum Unterschied von 
den Kreisfunktionen sind die hyperbolischen nicht pe- 
[. Die Natur- 
wissenschaften 
gonometrischen auf, und die Dreieckswinkelsumme 
zeigt statt des Exzesses einen „Defekt“, wiederum 
mit dem Dreiecksinhalt (relativ zur Einheits- 
strecke) ansteigend. Aber zum Unterschied von 
der Kugel ist die Pseudosphäre unendlich ausge- 
dehnt, so daß die geradesten Linien hier nicht in 
sich selbst zurücklaufen. Und wenn vom Punkt 
zur „Geraden“ auf der Kugel keine Parallelen- 
konstruktion möglich war, und auf der Ebene nur 
eine, so existiert auf der Pseudosphäre ein ganzes 
Bündel von Parallelen verschiedener „Neigung“, 
das von 2 Grenzgeraden eingeschlossen wird. — 
Analoges gilt für die dreidimensionale Verallge- 
meinerung, den pseudosphärischen oder hyperbo- 
lischen!) Raum. 
Wir kehren nun wieder zum Helmholtzschen 
Flächengleichnis zurück, versetzen unsere zwei- 
dimensional aperzipierenden Lebewesen diesmal 
auf eine Ebene?) und fragen uns, 9b und inwie- 
weit Flächen anderer, endlicher Krümmung bzw. 
Vorgänge auf solchen Flächen zum Gegenstand 
der Erfahrung für jene Wesen werden können. 
Vor allem ist klar, daß all ihre Sinneseindrücke 
nur aus ihrer Ebene stammen können. Denn jede 
Wahrnehmung aus einer anderen Richtung brächte 
ihnen die voraussetzungsgemäß ausgeschlossene 
Kenntnis der dritten Raumdimension. Soll also 
irgendeine gekrümmte Fläche, z. B. eine Kugel, 
überhaupt für unsere Wesen in Erscheinung tre- 
ten können, so muß sie mit der Ebene zumin- 
destens ein Element gemeinsam haben, sie also be- 
rühren oder schneiden. Die Schnittlinie — in 
unserem Falle ein Kreis — gehört beiden Ge- 
bilden an, von ihr aus können also — eventuell 
unter Komponentenbildung — Wirkungen von 
der Kugelfläche auf die Ebene übergreifen. Der 
Schnittkreis besitzt zwei Radien: einen Huklidi- 
schen in der Ebene (e=A(, Fig. 1) und einen 

sphärischen (0 = BD) als Kreis der Kugel. Man 
ersieht leicht, daß zwischen beiden Radien die Be- 
ziehung besteht 
r 
wenn BR den Kugelhalbmesser (die ‚Einheits- 
Strecke“ der gekrümmten Fläche) bedeutet. 
0 = Rsin () 
riodisch. Vielmehr wiichst mit zunehmendem Argu- 
ment der Gin von 0 bis co, der oj von 1 bis co und 
die Tg von O bis 1. Im 2. Teil dieses Berichtes wird 
von folgenden einfachen Beziehungen Gebrauch gemacht 
werden: of?(a) =1-+ Gin2(@) und dXg(a) = nee 
1) Diese Bezeichnung wegen des Auftretens der 
Hyperbelfunktionen. 
?) In Analogie zu unserem „ebenen“ Euklidischen 
Raum. 

