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Welches Kraftgesetz geniigt nun diesen 3 For- 
derungen ? 
Bedingung 1 verlangt periodische Bewegungen, 
und zwar bei beliebigen Anfangsbedingungen, da 
ja trotz der fortwährenden unstetigen Änderun- 
gen bei den Zusammenstößen der Atome unter- 
einander die Bewegung periodisch bleiben soll. 
Bertrand hat aber gezeigt, daß die beiden einzigen 
Kräfte, die dieser Forderung genügen, die New- 
C A : 
tonsche (-5) und die elastische (—c.r) sind. 
Die elastische scheidet jedoch aus, weil ihr Poten- 
. C 9 es .. .. 
tial (3 ») fiir r = co über alle Maßen wächst, 
also entgegen Forderung 2 keine endliche Ablö- 
sungsarbeit für das Elektron ergibt. Das New- 
tonsche Potential (7) genügt zwar der Bedin- 
gung einer endlichen Dissoziationsarbeit, gibt aber 
wiederum für kleine Elongationen keine harmo- 
nischen Schwingungen, weil nach dem 3. Kepler- 
schen Gesetz die Umlaufs- bzw. Schwingungszeit 
stets mit der ?/sten Potenz des Radius vector 
variiert. Also selbst ohne Berücksichtigung der 
Forderung 3 scheint ein Kraftgesetz von den ver- 
langten Eigenschaften nicht angebbar zu sein. — 
Diese Schlußfolgerung erweist sich jedoch als 
unvollständig und nicht durchgreifend. Denn unsere 
Kinematik, die dem Bertrandschen Beweis ja zu- 
grunde liegt, ist auf der Gültigkeit der geometri- 
schen Axiome aufgebaut, wie dies z. B. jede vec- 
torielle Zusammensetzung von Bewegungen sofort 
zeigt. Daß die Euklidische Geometrie nur einen 
Spezialfall darstellt, wurde in Teil I auseinander- 
gesetzt. Wenn wir aber für den Raum, in dem die 
Elektronen ihre periodischen Bewegungen aus- 
führen, nicht-Euklidische Geometrie zulassen, wenn 
wir also (und hierfür liegt ein Gegengrund nicht 
vor) mit der Möglichkeit rechnen, daß der Raum 
innerhalb der Atome im Gegensatz zum Vakuum 
konstantes positives oder negatives Krümmungs- 
maß besitzt, so muß zuerst einmal unter Zugrunde- 
legung solch einer allgemeineren Geometrie unter- 
sucht werden, ob sich nicht doch ein Kraftgesetz 
angeben läßt, das den oben angeführten 3 Forde- 
rungen genügt. 
Ein später zu erweisendes Ergebnis der Byk- 
schen Hypothese mag hier als Forderung vorweg- 
genommen werden. Soll die n.-E. Natur des 
Atominnenraumes merkbar in Erscheinung treten, 
so darf die Einheitsstrecke R dieses Raumes die 
Größenordnung des Atomradius nicht erheblich 
übersteigen. Denn für Bereiche eines n.-E. Rau- 
mes, die klein sind gegen dessen Einheitsstrecke, 
gilt, wie bereits betont, die gewöhnliche Geometrie 
und daher auch die gewöhnliche Kinematik. 
Zur Auswahl stehen nun: sphärischer und 
hyperbolischer Raum, Newtonsches und elastisches 
Kraftgesetz. 
Von den Kraftgesetzen ist das Newtonsche 
(Coulombsche) das nächstliegende, weil ja die 
Elektronen im ebenen Raum (im Vakuum) seiner 
Goldschmidt: Nichteuklidische Geometrie und Atommechanik. 
Die Natur- 
wissenschaften 
Herrschaft unterworfen sind. Verallgemeinert 
man das Newtonsche Potential für den Raum po- 
C 
sitiver Krümmung, so erhält man er für den 
€ 5 : 
Raum negativer Krümmung RL Mittels einer 
einfachen Überlegung folgt aus diesen Formeln, 
daß in einem n.-E. Raum das Newtonsche Poten- 
tial annähernd proportional der Einheitsstrecke 
zu- oder abnimmt. Ist also R für die Atome wirk- 
lich von der Größenordnung des Atomhalbmessers, 
also sehr klein, so muß auch der Wert des Newton- 
schen Potentials verschwindend sein. Denn an- 
dernfalls wäre die Anziehung der beiden Elek- 
trizitäten im ebenen Raum unendlich groß. 
Bleibt das elastische Potential. Dasselbe lau- 
tet für einen sphärischen Raum k.tg? ($) ‚wo R 
wieder die Einheitsstrecke, 0’ die (n.-E.) Entfer- 
nung des angezogenen Aufpunktes (Elektron) 
vom Anziehungs-(Atom-)Zentrum bedeutet. Auch 
dieses Potential ist zur Darstellung der Atom- 
kräfte unbrauchbar, denn tg wird für a 
unendlich und schlägt dann ins Negative um (Ab- 
stoBung!). Ein Elektron, was sich also einmal in 
der Anziehungssphäre innerhalb des Atoms be- 
findet, wäre durch keine endliche Arbeit mehr 
abzulösen. Somit Widerspruch gegen Bedin- 
gung 2. 
Die letzte Möglichkeit jedoch: elastisches Po- 
tential im negativ gekrümmten Raum befriedigt 
alle Forderungen. Denn dieses Potential ergibt 
sich zu 
v=r,z($) 2 
und die hyperbolische Tangente strebt zum Unter- 
schied von der trigonometrischen für wachsendes 
Argument dem Grenzwert 1 zu. Also Ablösungs- 
arbeit endlich. Für abnehmendes Argument aber 
go” 
R? 
das heißt: für Entfernungen, die klein sind gegen- 
über der Einheitsstrecke (also für Elektronen, die 
nahe dem Atomzentrum mit sehr kleinen Ampli- 
tuden schwingen) gilt das gewöhnliche elastische 
Potential und die Schwingungen sind daher har- 
monische. Da für diese Schwingungen außerdem 
— eben wegen der Kleinheit ihrer Amplituden — 
Euklidische Kinematik gilt, so finden wir durch 
Gleichsetzung von Zentripetal- und Zentrifugal- 
kraft die Frequenz vo für sehr kleine Elonga- 
tionen zu 
wird sie dem Argument selbst gleich, V = kı 
tole ks 
m.RV¥2m 
wo m die Masse des schwingenden Elektrons be- 
deutet. 
Forderung 1 und 2 sind somit erfüllt. Wie 
aber steht es mit Forderung 3, die die Brücke zur 
Quantentheorie schlagen soll? 
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