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19. 6. 1914 
schmackvollen Zubereitung, die die Lektüre nicht nur 
dem Fachmanne, sondern überhaupt dem Gebildeten und 
insbesondere den Gelehrten anderer Fächer ermöglicht 
und sie zu einer genußreichen Belehrung gestaltet. 
Die zweite, umfangreichere Abhandlung über ,,Ver- 
breitung mathematischen Wissens und mathematischer 
Auffassung“ von JH. E. Timerding trägt in der 
Hauptsache historischen Charakter; der Verfasser 
will zeigen und zeigt, unter welchen verschiedenen Ge- 
sichtspunkten zu den verschiedenen Zeiten die Kultur- 
menschheit Mathematik und mathematische Bildung 
gepflegt hat. So wird der Leser denn zunächst von 
der Geometrie ägyptischer Steinmetzen und Baumeister 
zur Mathematik der Griechen geführt, die bereits den 
durch die ganze weitere Geschichte des mathematischen 
Unterrichts sich hindurchziehenden Antagonismus zwi- 
schen dem utilitarischen, etwa durch Sokrates verkör- 
perten Standpunkt, der die mathematische Wissen- 
schaft nur um ihrer nützlichen Anwendungen willen 
gelten läßt, und dem Platos, für den sie ihrer Bildungs- 
werte wegen hohe selbständige Bedeutung hat, zeigt. 
Doch, es würde natürlich zu weit führen, wollten wir 
hier abermals die ganze Wanderung von Pythagoras 
und Huklid, von Diophant und Pappus bis zu Christian 
Wolff und Euler zurücklegen. Nur noch den beiden 
letzten Abschnitten der ganzen Arbeit seien ein paar 
Worte gewidmet: Die Darstellung, die bis dahin kos- 
mopolitischen Charakter trägt, beschränkt sich hier 
— für das 19. Jahrhundert und die Gegenwart (Schul- 
reformbewegung) — aus naheliegenden Gründen im 
wesentlichen auf Deutschland. Gibt die ganze Arbeit 
eine ausgezeichnete Orientierung über die Entwicklung 
des Mathematikunterrichts, eine Darstellung, die auch 
in der Zukunft noch lesbar und wertvoll sein wird, so 
erhalten diese beiden letzten Abschnitte einen erhöhten 
Gegenwartswert dadurch, daß der Herr Verfasser in 
der neuesten Zeit durch verschiedene wichtige Ver- 
öffentlichungen in die erste Führerreihe in der Be- 
wegung der mathematischen Schulreiorm gerückt ist. 
Die angegebenen Teile der Arbeit haben davon wesent- 
lichen Gewinn gezogen; dabei sei noch ausdrücklich 
hervorgehoben, daß diese Kampfesbewegung hier eine 
vornehm sachliche, durch Parteigeist in keiner Weise 
getrübte Behandlung erfährt, wie sie freilich allein 
dem Charakter eines solchen Werkes, einer solchen 
Akademie aller Wissenschaften, angemessen ist. Doch, 
besser als eine allgemeine Charakterisierung werden 
einzelne, besonders ausgewählte Proben eine Vorstel- 
lung von diesem letzten Teil, dem ich einen besonderen 
Erfolg vorhersagen möchte, geben: Der mathematische 
Unterricht der höheren Schulen des verflossenen Jahr- 
hunderts wird charakterisiert und kritisiert mit den 
Worten: ,So unwahrscheinlich und ungereimt es 
klingt, der mathematische Schulunterricht ist fast 
hundert Jahre lang so gehandhabt worden, als ob alle 
Schüler später Mathematik studieren wollten.‘ — Daß 
jedoch darüber der Wert der „formalen Bildung“, des 
vornehmsten Unterrichtsziels der verflossenen Epoche, 
keineswegs verkannt wird, mag das folgende Wort zei- 
gen: „Die Signatur der höheren Allgemeinbildung ist 
im 19. Jahrhundert ... durch den Grundsatz der 
formalen Schulung gegeben. Da die modernen Bestre- 
bungen meist dahin zielen, sich diesem Grundsatz zu 
widersetzen, haben wir uns. gewöhnt, mit ihm einen 
tadelnden Beigeschmack zu verbinden. Darin liegt 
eine gewisse Ungerechtigkeit, denn es ist nicht zu 
leugnen, daß die auf dieser Grundlage erzielten Re- 
sultate zum Teil außerordentlich günstige gewesen 
sind. Es herrschte im Unterricht ein großer Ernst und 
Besprechungen. 615 
eine strenge Zucht, und gerade die Gewöhnung zur 
Selbstbeherrschung, zur Sorgfalt und Gewissenhaftig- 
keit ist ein Moment, das nicht bloß zu guten äußeren 
Resultaten führt, sondern auch einen großen sittlichen 
Wert in sich schließt. ... So ist die Stellung der 
Mathematik unter der Herrschaft eines formalen Bil- 
dungsideals eine nicht ungünstige gewesen; dagegen 
war diese für die Naturlehre wohl die unglücklichste 
Epoche. Es entwickelte sich die berüchtigte Kreide- 
physik, bei der schematische Figuren an der Tafel das 
wirkliche Experiment ersetzten.“ — Auch der Wert 
dessen, was durch die Reformbewegung für den mathe- 
matischen Unterricht und seine Stellung im Schulver- 
band bisher gewonnen ist, wird nicht überschätzt, wie 
beispielsweise folgende Stelle zeigen möge: „Selbst an 
den allgemeinen höheren Schulen hat sich eine anti- 
mathematische Strömung gezeigt, in der sich die Ver- 
treter der literarischen und der rein naturwissen- 
schaftlichen Fächer zusammenfinden. Auch die auf- 
gekommene realistische Tendenz, welche die Sprachen 
als Verkehrsmittel pflegt und die Naturwissenschaf- 
ten auf die unmittelbare Beobachtung gründet, ist der 
Mathematik wenig günstig, während die Altphilologen, 
welche die Wohltat einer straffen grammatikalischen 
Schule betonen, zum Teil die geistesbildende Kraft der 
Mathematik unumwunden anerkennen. So hat sich 
der beim ersten Anblick befremdliche Zustand ergeben, 
daß gerade an den Oberrealschulen, die ursprünglich 
wesentlich als mathematisch-naturwissenschaftliche 
Lehranstalten gedacht waren, der Mathematik ein 
starker Widerstand erwiichst. Diese Schulen er- 
blicken zum Teil ihre Stärke und ihre Zukunft durch- 
aus in den sprachlichen Fächern, sie suchen sich zu 
einem neusprachlichen Gymnasium zu entwickeln und 
statt in dem Anschluß an die moderne Kultur, an 
die Naturerkenntnis und Naturbeherrschung, suchen 
sie die geistige Schulung, die in den alten Sprachen 
liegt, wiederzugewinnen in einer didaktischen Durch- 
bildung der modernen Sprachen.“ — Von programma- 
tischer Bedeutung ist schließlich das folgende Wort: 
„Strenge im mathematischen Unterricht heißt nicht, 
daß man alles beweist, soweit es sich überhaupt be- 
weisen läßt, sondern daß man klar zum Ausdruck 
bringt, was man bewiesen hat und was nicht 
Es ist viel besser, von vornherein klar zu sagen, daß 
man auf der Schule nicht die Mindestzahl voneinander 
unabhängiger Behauptungen, aus denen alle anderen 
Behauptungen durch bloße logische Schlüsse folgen, er- 
reichen kann, daß man vielmehr auch solche Sätze 
empirisch einführt, die in Wirklichkeit bloße Folge- 
rungen aus anderen bereits bekannten Sätzen sind. 
Der ganze Standpunkt der Schulmathematik ist ein 
anderer wie der der wissenschaftlichen Mathematik. 
Wir begnügen uns mit der Stufe des Erkennens, die 
wir auch in der Physik haben, wo wir unbedenklich 
als wahr hinnehmen, was uns die Erfahrung als tat- 
sächlich richtig zeigt. Die Mathematik, die wir auf 
der Schule treiben können, ist sozusagen eine physika- 
lische Mathematik, weil sie nur die sichere Feststel- 
lung der Sätze, nicht aber die möglichst vollständige 
Bloßlegung ihres logischen Gefüges erstrebt.“ 
Im Anschluß daran sei gestattet, nochmals zu der 
ersten Abhandlung (A. Voß) zurückzukehren und auch 
aus ihr, als Kostprobe, ein goldenes Wort anzuführen: 
„Es ist,“ so heißt es bei Untersuchung des pädagogi- 
schen Wertes der Mathematik, „ein unbegründetes 
Vorurteil, wenn man — insbesondere in populären 
Schriften — die Mathematik als Hauptmittel zur Er- 
ziehung logischen Denkens bezeichnet. Verstöße gegen 
