672 Müller: John Napier und die Entdeckungsgeschichte seiner Logarithmen. [ Die Natur- 
bischof Jacob Usher richtete: ,,Napier Lord of 
Markiston hath set my head and hands at work 
with his new and admirable logarithms.“ 
Die von Napier in seiner Descriptio veröffent- 
lichten Tafeln sind also — entsprechend ihrer Be- 
stimmung für trigonometrische Rechnungen — zu- 
nächst keine Logarithmentafeln der natürlichen 
Zahlen, sondern vielmehr eine logarithmisch-trigo- 
nometrische Tafel. Sie enthalten die Logarithmen 
des Sinus, Cosinus, der Tangente, Secante der 
Winkel von 0° bis 90° fortschreitend von Minute 
zu Minute. Im übrigen richtete er sie so ein, daß 
dem Sinus totus (d. h. sin 90°), dem er nach da- 
mals üblichem Gebrauch die Zahl r = 107 zuord- 
nete, der Logarithmus Null entspricht, beginnend 
mit + ooals Logarithmus für sin 0° Er traf die 
Wahl also so, daß den Sinus positive Logarithmen 
zugehörten, und zwar abnehmende für wachsende 
Winkel. Er bemerkt selbst, daß im vornherein 
auch eine andre Wahl möglich gewesen wäre, er 
habe diese aus Zweckmäßigkeitsgründen getroffen. 
Wir müssen dies im Auge behalten, um den Unter- 
schied gegen die heute übliche Wahl als unwesent- 
lich im Sinne von Napier zu betrachten. Wir kön- 
nen dann sagen, daß die Napierschen Logarithmen 
im wesentlichen mit den heute sogenannten natür- 
lichen Logarithmen übereinstimmen. Daß er ge- 
rade diese, für die theoretische Mathematik wich- 
tigeren, gegenüber den unserem Dezimalsystem 
"besonders angepaßten gewöhnlichen oder Briggi- 
schen Logarithmen, treffen mußte, lag an der 
durchaus natürlichen Auffassung, die er von dem 
Wesen der Logarithmen hatte und auf die ihn auch 
sein praktisches Ziel, die Multiplikationen, Divi- 
sionen usw. großer Zahlen zu vermeiden, unmittel- 
bar führen mußte. 
Jede Multiplikation, Division usw. schrieb man 
in früherer Zeit als geometrische Proportion, also 
etwa die Multiplikation a3 = 2.x» mit besonderer 
Heraushebung der Einheit r 
% _%ı 
eat 
Hat man nun den Gedanken, die Rechnung 
mit den ,,natiirlichen“ Zahlen x dadureh auszu- 
führen, daß. man die „künstlichen“ Zahlen y 
(numeri artificiales, wie sie Napier in seiner Con- 
structio von 1619 nennt) an ihre Stelle setzt, so 
kann man etwa dieser geometrischen Proportion 
die arithmetische Proportion 
¥3— Yo2 = Yı — Yo 
entsprechen lassen. Gelingt es dann die ein-ein- 
deutige Zuordnung der Zahlen x und y festzu- 
legen, so kann man jedenfalls ys durch leichte 
Addition und Subtraktion finden und braucht 
nachher im Resultat nur zu wissen, welche natiir- 
liche Zahl xs; der berechneten künstlichen Zahl ys 
zugehört. Es ist klar, daß hier als notwendige 
und hinreichende Bedingung zu stellen ist, daß 
gleichen Verhältnissen der natürlichen Zahlen 
jeweils gleiche Differenzen der künstlichen Zahlen 
wissenschaften 
entsprechen müssen, wobei es noch willkürlich ist, 
welches Ausgangsverhältnis der x man einer Aus- 
gangsdifferenz der y zuordnen will. Napiers 
glücklicher Gedanke war es, diese Entscheidung 
von vornherein nicht zu treffen. Er denkt sich 
vielmehr beide Zahlenarten x und y als stetige 
Funktionen einer Hilfsgröße t (er spricht von 
einem „Fließen“ in der Zeit ¢) und setzt zunächst 
nur fest, daß fiir =0 y=0 und x=, sein soll, 
mit der Maßgabe, daß während die y wachsen, die 
x abnehmen. Die genannte Bedingung lautet dann 
einfach: Wenn 
Yn — Yn = Yi — Yo = Const., 
muß auch 

Ln x, 
Se CONSUS 
Ln—-1 ro 
oder 
Ln — In x, —% 
a=! ° = const. 
In Lo 
sein (Y > Yo, 2 <q); oder in der Grenze, d. h. 

unter Einführung der Geschwindigkeiten, mit 
denen sich y und x „synchron“ ändern: Wenn 
d d 
= = (Ga) =€ mit.% = 0 fim 
muß gelten 
Idea 2 ae 
Zt =-2 (55), mit 2 = rturh—Os 
Hier ist das Verhältnis der Anfangsgeschwin- 
x 
digkeiten (52) und (SF nun noch willkürlich. 
dt)o t)o 
Napier setzt fest, daß beide gleich sein 
sollen. Er legt also die Beziehung zwischen 
y und x durch die beiden Differentialgleichungen 
fest: 
d ; 2. 
ER mit y=0 für t=0| 
(1 
de — __ x mit z=r für + =o 
ols r 
oder unter Elimination von t durch die eine 
Differentialgleichung 

dy=—r = mit’y =.0 für res 
Wir haben uns bei dieser Darstellung erlaubt, 
die Napierschen Gedanken in das Gewand unserer | 
modernen Schreibweise zu kleiden, an deren Stelle 
natürlich bei Napier (vor Einführung der Symbole 
der Infinitesimalrechnung) die geometrische Form 
treten mußte. Wir haben damit aber die einfachste 
Möglichkeit gewonnen, die Napierschen „künst- 
lichen“ Zahlen y — die er in der Descriptio von 
1614 dann ohne nähere. Worterklärung als „Loga- 
rithmen“ bezeichnet — mit unseren heutigen ,,na- 
türlichen Logarithmen“ in Beziehung zu setzen. 
Insofern diese durch die Differentialgleichung 
d: 
ENT “mit y = 0 fava te 
eingeführt werden, ist klar, daß man die Napier- 

