

Heft al 
10. 7. 1914 
schen Zahlen x und seine Logarithmen y durch 
r— 107 zu dividieren hat, um zu finden, daß 
Nap. log x = — log nat x, 
oder mit anderen Worten: Nach Änderung des 
Mafstabes in der angegebenen Weise ist die Bild- 
kurve des Napierschen Logarithmus das Spiegel- 
bild unserer Logarithmuskurve in bezug auf die «- 
Achse. Will man den Begriff der Basis einführen 
— als derjenigen Zahl x, der der Logarithmus 1 
zugehört —, so kann man auch sagen: Unter An- 
derung des Maßstabes in der angegebenen Weise, 
$ : 5 : : ay 
wt die Basis der Napierschen Logarithmen Sat der 
reziproke Wert der Basis e unserer natürlichen 
Logarithmen. 
Ebenso einfach läßt sich der Grundgedanke 
Napiers für die Konstruktion seiner Logarithmen 
aussprechen. Der Sachverhalt ist kurz gesagt 
dieser: Hr integriert die Differentialgleichung (1b) 
unter den angegebenen Anfangsbedingungen, in- 
dem er sie als Differenzengleichung auffaßt. Er 
bemerkt, daß für zwei Logarithmen ye und yı 
(y2 > yı), die den Zeiten ft. > t, entsprechen, aus 
der ersten der Gleichungen (1) folgt 
CONG oma 
und andrerseits aus der zweiten Gleichung (1) fiir 
die zugehörigen Zahlen x» < x 
fe 
cAt> (a — a) 7 - 
l 
ja 
CNC (a 0) ’ 
2) 
so daß die Differenz y2— yı in folgende Grenzen 
eingeschlossen ist 
r r 
a onen) (2 
Er kann also auf Grund dieser Relation aus einem 
gegebenen Logarithmus y; in einfachster Weise 
einen nächsten Logarithmus ye finden, wenn er 
als angenäherten Wert fiir y2 das Mittel der Gren- 
zen nimmt. Es zeugt von der tiefen Einsicht, die 
Napier in die Praxis des numerischen Rechnens 
hatte, daB er diesen Integrationsgedanken seinem 
vorliegenden Zwecke so anpaßte, daß er einerseits 
mit dem Minimum der Rechenarbeit auskam, 
andrerseits die Rechnung aber auch so gestaltete, 
daß sie leicht auszuführen war. 
Seine Absicht war, die Logarithmen der Sinus 
der Winkel von 0° bis 90° fortschreitend von 
Minute zu Minute zu tabellieren. Er bemerkt, daß 
es zunächst nur auf die Winkel von 30° bis 90° 
ankommt, indem der Logarithmus des Sinus jedes 
Winkels a unter 30° sich nach der Formel 
sin @ + sin (900 — «) 
sin 90° 
2 

sin 2e= 

oder 
’ sin 90 © 
log sin @ = log (sin 2 1. 

)- log sin (90° — «) 
Nw. 1914. 
Müller: John Napier und die Entdeckungsgeschichte seiner Logarithmen. 
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sehr einfach aus den Logarithmen der Sinus des 
doppelten Winkels und Komplementwinkels ergibt: 
Es waren also erst einmal für 60 X 60 = 3600 
Sinus (= x) die zugehörigen Logarithmen y zu 
finden. Diese entnimmt er durch Interpolation 
nach der Formel (2) aus einer Tafel, der ‚Tabula 
radicalis“, die 21 X 69 — 1449 Logarithmen y von 
Zahlen x enthält, die beide sich in bequemer Weise 
rechnen lassen. Der Anfangswert der x ist 
r—= 10°” —= sin 90°, der Endwert ungefähr 2 r 
2 
= sin 300%. Die Herstellung dieser ‚Tabula radi- 
calis“ ist also das eigentlich Entscheidende. 
Napier entwirft zu diesem Zwecke zunächst 
eine erste Hilfstafel (tabula prima), die außer dem 
Wertepaar 2 =r, y=O zu weiteren 100 Zahlen 
a) die ihnen zugehörigen Logarithmen y() ent- 
hält. Dabei schreiten die a!) in einer einfachen 
geometrischen Reihe fort, die Napier nach der 
Rekursionsformel 



In = Xn—1 — — (7% = 1 bis 100) 
berechnet. Diese ist einfach das Integral der als 
Differenzengleichung 
Ly —Xn-1 __ c RE. ET 
I Dr r In (GBs ris to = 0) 
geschriebenen zweiten Gleichung des Systems (1) 
mit cu —tn—1)=1. Die Grenzen der zugehörigen 
Werte Yn) der Logarithmen findet dann Napier 
weiter aus der Ungleichung (2). Es genügt aber 
nur die Grenzen von ,() zu rechnen; die Grenzen 
der weiteren Logarithmen sind dann einfach das 
Zwei-, Drei- usw. -fache der Grenzen von y,. 
Da &, = + —1 wird, so ergeben sich als Grenzen 
für y, 0) 
N % 
1% 
Als wahrscheinlichsten Wert für y,) wählt 
Napier das arithmetische Mittel. Im übrigen 
rechnet er, der Genauigkeit wegen, hier mit 7 De- 
zimalen. Die Tafel liefert dann folgende Werte: 
Z = 10000000,000 0000 y = 0,000 000 00 
z,0 = 9999 999,000 0000 9,9 = 1,000 000 05 
0 = 9999 998,000 0001 9,0 = 2,00000010 
x31) = 9999 997,000 0003 9: = 3,000000 15 
zu = 9999 900,000 495 0 yop"? = 100,000 005 00 
Jetzt folgt eine zweite Hilfstafel (tabula 
secunda), die außer dem Wertepaar x=r, y=0 
zu weiteren 50 Zahlen «(2)die ihnen zugehörigen 
Logarithmen y®) enthält. Indem Napier hier 
(mn — tn-ı) =100 setzt, “ergeben sich die 
Zahlen #2) nach der einfachen Rekursionsformel 
(2) 
(2) (2) Daal 
Cy = ey 105 (2 Zeil bis 50) 
Die Grenzen für y@) ergeben sich wieder nach 
der Ungleichung (2), ausgehend von dem letzten 
Wertepaare 21991), Y,o9(!) der ersten Hilfstafel. Da- 
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