Die Natur- 
4 v. Kries: Über Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Physik. ee, eee 
der bedingenden Umstände entspricht, als gleich 
wahrscheinlich bezeichnen; wir werden das mit 
sehr großer resp. sehr geringer Wahrscheinlich- 
keit erwarten dürfen, wovon wir wissen, daß es 
durch einen sehr großen bezw. einen sehr kleinen 
Teil der ganzen Verhaltungsspielräume herbei- 
geführt wird!). Untersuchungen, auf die hier 
nicht einzutreten ist, lehren weiter, daß eine zah- 
lenmäßige Bemessung der Erwartungen nur dann 
möglich ist, jedenfalls nur dann erheblichere Be- 
deutung besitzt, wenn sie auf einer Kenntnis 
jener objektiv definierten Größenverhältnisse be- 
ruht. Namentlich ergeben sich auch nur auf 
dieser Grundlage die enorm hohen oder enorm 
niedrigen Wahrscheinlichkeiten, die uns berechti- 
gen, etwas mit fast absoluter Sicherheit zu er- 
warten oder für ausgeschlossen zu halten. Es 
muß daher auch besonders betont werden, daß die 
Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Rechnung 
sich beschäftigt, auch diejenigen, die in der theo- 
retischen Physik*eine Rolle spielen, lediglich solche 
sind, denen die feste Unterlage eines solchen 
Wissens zugrunde liegt’). In den hier in Betracht 
kommenden Fällen bestimmt sich also die Erwar- 
tung nach gewissen uns bekannten Größenver- 
hältnissen von objektiver Bedeutung: damit ist 
der Zusammenhang der subjektiven und objek- 
tiven Seite in einfachster Weise bezeichnet. 
Den Grundsatz, daß die Spielraumsverhältnisse 
in der erwähnten Weise für unsere Erwartungen 
bestimmend sind, habe ich als Prinzip der Spiel- 
räume bezeichnet; die darauf aufgebaute Theorie 
der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann Spiel- 
raumstheorie genannt werden. Der ganze Gegen- 
stand ist unter diesen Namen in der logischen Li- 
teratur wohlbekannt und hat zu recht umfang- 
reichen Erörterungen Anlaß gegeben. 
Trotz der Einfachheit ihres Grundgedankens 
gestaltet sich die vollständige Durchführung der 
Spielraumstheorie doch verwickelter und um- 
ständlicher als man im voraus erwarten sollte, 
vor allem, wenn in erster Linie von logischen Ge- 
sichtspunkten ausgegangen wird und die Unter- 
suchung in diesem Sinne orientiert ist. Einfacher 
und kürzer ließe sich vielleicht eine Darstellung 
gestalten, die nur das für die theoretische Physik 
Bedeutungsvolle umfaßt und überhaupt wesent- 
lich dem Interessenkreis des Physikers Rechnung 
trägt. In der schon einige Zeit gehegten Absicht, 
eine solche Darstellung zu versuchen, bin ich 
1) Uber die Berechtigung des hier zugrunde liegen- 
den logischen Prinzips vgl. Logik S. 425. 
?2) Dies muß mit besonderem Nachdruck hervorge- 
hoben werden gegenüber der auf philosophischer Seite 
noch häufig vertretenen Tendenz, die Wahrscheinlich- 
keits-Ansetzungen auch z. B. für die Zufallsspiele auf 
-ein völliges Nicht- oder Nichts-Wissen zu basieren. 
Vgl. darüber z. B. Stumpf, Über den Begriff der mathe- 
matischen Wahrscheinlichkeit. Sitzungsber. der K. 
Bayer. Akademie der Wissenschaften, phil.-hist. Klasse 
1892, S. 37. Derselbe, Über die Anwendung des mathe- 
matischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs auf Teile eines 
Kontinuums. Ebenda. 1892, S. 681. Und dagegen 
Logik, S. 598 f. 
durch den erwähnten Aufsatz Smoluchowskis be- 
stärkt worden, teils, weil er erkennen läßt, daß 
auch in den Kreisen der Physiker die herkömm- 
liche Behandlung der Wahrscheinlichkeitsbegriffe 
nicht als befriedigend erachtet wird, teils, weil in 
der unabhängigen Aufnahme desselben Grundge- 
dankens von anderer Seite wohl eine erwünschte 
Gewähr für seine Fruchtbarkeit erblickt werden 
darf. 
II. Die Zufallsspiele. 
Auf der mit der Spielraumstheorie gewon- 
nenen Grundlage müssen hier zunächst die Ver- 
hältnisse eines Zufallsspiels noch in einigen 
Richtungen des genaueren verfolgt werden. Da- 
rüber zwar, daß die Wahrscheinlichkeiten, die wir 
üblicherweise für die einzelnen Erfolge ansetzen, 
in der Tat den Spielraumsverhältnissen der sie 
herbeiführenden Umstände entsprechen, wird es 
wenigstens für die Hauptklasse der Zufallsspiele 
kaum einer besonderen Hinzufügung bedürfen. 
Es sind dies alle diejenigen, bei denen, wie bei 
Roulette, Kopf und Schrift, Würfel und ähn- 
lichen, nur eine kleine Zahl von Erfolgen möglich 
ist, und daher bei ausgiebigerer Variierung der 
bedingenden Umstände in periodischem Wechsel 
die verschiedenen Erfolge erhalten werden. Daß un- 
ter diesen Umständen die einzelnen Erfolge durch 
annähernd gleiche Bereiche der bedingenden Um- 
stände erhalten werden, ergibt sich aus einer ein- 
fachen Erwägung der mechanischen Bedingun- 
gen’). In voller Strenge und unbedingt einwands- 
frei würde es für ein ideales Zufallsspiel gelten, 
worunter wir ein solches verstehen wollen, bei dem 
der Erfolg schon mit unendlich kleinen Vari- 
ierungen der bedingenden Umstände wechselt, wie 
etwa ein Roulette mit unendlich schmalen roten 
und schwarzen Feldern. 
Für das Roulette genügt die oben schon ange- 
stellte Betrachtung, ebenso für das von mir öfter 
zur Erläuterung herangezogene ‚Stoßspiel“, bei - 
dem eine Kugel in einer langen geraden, in rote 
und schwarze Felder geteilten Bahn läuft (ein so- 
zusagen geradlinig ausgestrecktes Roulette). In 
beiden Fällen bestimmt sich der Erfolg nur durch 
die Stärke des Anstoßes; der in Betracht kom- 
mende Spielraum ist also ein einfach bestimmter. 
Beim Würfeln bestimmt sich der Erfolg durch 
den Ort (Höhe über der Tischplatte), die Lage 
(Orientierung gegen die Senkrechte) und die fort- 
schreitenden und drehenden Bewegungen, mit 
denen der Würfel die Hand des Würfelnden ver- 
läßt. Der in bezug auf all diese Verhältnisse be- 
stehende Spielraum kann als eine neunfache be- 
stimmte Mannigfaltigkeit aufgefaßt werden. 
Schwerer zu beurteilen sind andere Zufalls- 
spiele, die man etwa unter der Bezeichnung der 
Mischungsspiele zusammenfassen könnte, wie etwa 
das Durcheinanderschütteln von Kugeln in einem 
Gefäß. Ich bin jetzt im Zweifel, ob die Bemer- 
4) Vgl. Prinzipien 8. 54f., Logik S. 6198, und: 
Smoluchowski S. 256. 
