Heft 1. 
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kungen, die ich darüber in den Prinzipien der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Seite 57) gemacht 
habe, ganz genügen. Einige andere Beispiele, wie 
das „Galtonsche Brett“, hat Smoluchowski unter 
dem gleichen Gesichtspunkt behandelt. 
Einer weiteren Darlegung bedarf dagegen der 
folgende Punkt. Wir haben zunächst ins Auge 
gefaßt, durch welche Spielräume der Stoßkraft 
beim Roulette die einzelnen Erfolge hervorge- 
bracht werden, und ähnlich auch für das Würfeln 
die Würfelbewegungen zum Gegenstande der Be- 
trachtung gemacht. Wir haben also die dem Er- 
folg unmittelbar voraufgehenden und ihn direkt 
bestimmenden Umstände in Rechnung gezogen. 
Nun kann man natürlich mit der Frage weiter 
zurückgreifen. Die Kraft, mit der der Spieler 
das Roulette antreibt, Art, Form und Zahl der 
beim Würfeln ausgeführten Bewegungen werden 
durch andere, entferntere Verhältnisse bestimmt. 
Es wird sich also fragen, ob man auch im Hin- 
blick auf diese Umstände sagen kann, daß die 
einzelnen Erfolge durch gleich große Spielräume 
ihres Verhaltens bewirkt werden. Es versteht sich 
ja, daß wir die Wahrscheinlichkeit eines Zustan- 
des oder Ereignisses nicht anders veranschlagen 
können als die Wahrscheinlichkeit derjenigen vor- 
aufgehenden Verhaltungsweisen, die die erfor- 
derlichen und zureichenden Bedingungen für jene 
darstellen. Daher wird denn das Größenverhält- 
“nis irgend welcher Spielräume dann, aber auch 
nur dann, für unsere Erwartungen maßgebend 
sein, wenn es in der gleichen Weise für die Spiel- 
räume derjenigen Verhaltungsweisen zutrifft, die 
den einen oder andern als ihre Vorbedingungen 
in beliebig früheren Zeitpunkten zugehören. Es 
leuchtet nun aber ein, daß auch dies wegen des 
schnellen periodischen Wechsels der Erfolge mit 
größter Annäherunig zutreffen wird, für das ideale 
Zufallsspiel in aller Strenge zutreffen muß. Denn 
auch die Art, wie die späteren Verhaltungsweisen 
von den früheren abhängen, wird, wenigstens viel- 
fach, eine stetige, d. h. von der Art sein, daß kleinen 
Änderungen jener kleine und proportionale Ände- 
rungen dieser entsprechen. Geht man hiervon aus, 
so darf angenommen werden, daß auch in den ent- 
fernteren Bedingungen .die den einen und andern 
Erfolg herbeiführenden in schnellem Wechsel und 
in gleicher Größe gegeben sein werden. Ich habe, 
um diesen wichtigen Punkt hervorzuheben, das 
Größenverhältnis derjenigen Spielräume, denen im 
Zufallsspiel die einzelnen Frfolge zugeordnet 
sind, ein ursprüngliches genannt. Der schnelle 
periodische Wechsel der Erfolge bei Variierung 
der bedingenden Umstände bringt es also nieht nur 
mit sich, daß in den unmittelbar voraufgehenden 
Umständen die den einen und andern Erfolg be- 
dingenden Spielräume in festen Größenverhält- 
nissen stehen, sondern auch, daß diese Größen- 
- verhältnisse im erwähnten Sinne ursprüngliche 
sind. 
Sodann ist hier der Ort, auf die Tatsache ein- 
zugehen, daß in langen Reihen die einzelnen Fälle 
Nw. 1919. 
'v. Kries: Über Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Physik. 5 
annähernd mit derjenigen Häufigkeit vertreten 
sind, die ihren Wahrscheinlichkeiten oder, wie 
wir dem Obigen zufolge auch sagen können, ihren 
objektiven Möglichkeiten entsprechen. Diese Tat- 
sache, das ,,Gesetz der großen Zahlen“, hat ja, wie 
bekannt, für die Wahrscheinlichkeits-Theorien im- 
mer einen besonders schwierigen Punkt gebildet. 
Die Wahrscheinlichkeits-Rechnung lehrt freilich in 
bekannter Weise, daß, wenn Rot und Schwarz mit 
gleicher Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind, wir 
für zahlreiche unabhängige Fälle ein annähernd 
gleich häufiges Eintreten beider mit sehr hoher 
Wahrscheinlichkeit erwarten dürfen. Allein da- 
rin, daß wir etwas erwarten, auch darin, daß wir 
berechtigt sind, es zu erwarten, liegt, wie man mit 
Recht sagt, keine befriedigende Erklärung dafür, 
daß es tatsächlich, und zwar mit voller Regel- 
mäßigkeit, eintritt. — Um über (diese Frage ins 
klare zu kommen, muß man beachten, daß, wenn 
wir eine „Erklärung“ fordern, wir in erster Linie 
an eine Herleitung aus irgendwelchen, in der Form 
eines endgültigen Gesetzes angebbaren, allgemein 
verwirklichten Gleichartigkeiten zu denken pfle- 
gen. Weiter aber ist zu berücksichtigen, daß wir 
nicht daran denken können, etwa das gesamte Ver- 
halten der Wirklichkeit aus solchen Gesetzen her- 
zuleiten. Wäre uns alles, was in der Form von sol- 
chen Gesetzen angebbar ist, bekannt, so würde das 
ohne Zweifel nicht genügen, um das ganze Verhal- 
ten der Wirklichkeit erschöpfend zu bestimmen, 
sondern neben dem tatsächlich Verwirklichten noch 
einer Menge anderer Gestaltungen Raum geben. 
In vieler Hinsicht müssen wir uns also mit der 
Einsicht begnügen, daß die Dinge sich tatsächlich 
so oder so verhalten. So könnte z. B. die Bewe- 
gung irgendwelcher kosmischer Massen durch ein 
Anziehungsgesetz festgelegt sein. Welche Körper 
aber überhaupt vorhanden sind, welche Anordnun- 
gen und Geschwindigkeiten sie in einem bestimm- 
ten Zeitpunkt besitzen, a!so das, was wir in der 
mathematischen Behandlung als die „Anfangsbe- 
dingungen“ zu bezeichnen pflegen, könnte wohl 
durch eine allgemeine Ordnung gar nicht fest- 
gelegt, sondern eben nur als etwas tatsächlich 
Verwirklichtes zu betrachten sein. Hieraus geht 
hervor, daß es Sache einer gewissen Überlegung 
sein wird, wofür wir überhaupt eine Erklärung im 
obigen Sinne zu fordern Anlaß haben. Und hier- 
für kommen nun in der Tat die Spielraumsver- 
hältnisse in Betracht. Wir werden vor allem 
nicht Anlaß haben, uns darüber zu wundern, daß 
ein Ereignis niemals eintritt, wenn dasselbe nur 
bei ganz besonderen, einen sehr kleinen Spielraum 
aller denkbaren Gestaltungen ausmachenden Be- 
dingungen Platz greifen könnte. Wir würden es 
z. B. ungereimt finden, wenn jemand die Bemer- 
kung machte, es kämen niemals zwei Berge von 
genau kongruenter Form vor, oder es fände sich 
am Himmelsgewölbe nirgends eine größere Anzahl 
heller Sterne in demselben größten Kreise und in 
gleichen Winkelabständen voneinander, eine sol- 
che Anordnung sei aus irgendeinem Grunde un- 
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