6 v. Kries: Uber Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Physik. [ 
möglich, und es müsse untersucht werden, wo- 
durch sie verhindert sei. Die unmittelbar ein- 
; leuchtende Auskunft, daß die ganz besondere in 
_ Frage gestellte Gestaltung der Erdoberfläche bzw. 
Anordnung von Gestirnen eben nicht realisiert sei, 
erscheint uns hier auch als völlig genügend. Ganz 
ähnlich liegen die Dinge auch für die Zufallsspiele. 
Und wir müssen, um sie richtig zu verstehen, nicht 
die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse, sondern die 
ihnen zugrunde liegenden objektiven Verhältnisse, 
‘die Spielraumsgrößen, in Betracht ziehen. Wir 
werden bei dem Einzelfall keine Erklärung dafür 
fordern, wenn ein Ereignis, das dur bei einer ganz 
besondern Gestaltung der bedingenden Umstände 
eintreten konnte, tatsächlich nicht eingetreten ist. 
Ganz das gleiche trifft aber auch zu, wenn bei 
einer längeren Reihe eine annähernd gleiche Häu- 
figkeit zweier Fälle beobachtet wird, und auch, 
.wenn sich das bei vielen Reihen immer ähnlich 
wiederholt. Wir müssen hier den wichtigen in 
Betracht kommenden Hauptsatz der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung in einer Weise formulieren, daß 
er sich nicht auf Wahrscheinlichkeiten, sondern 
auf Spielraumgrößen bezieht. Er besagt dann 
folgendes: 
Wenn sehr zahlreiche Ereignisse ähnlicher 
Art stattfinden, und für jeden ein bestimmter 
Erfolg an den n-ten Teil des für die bedingen- 
den Umstände bestehenden Spielraums geknüpft 
ast, so machen diejenigen Gestaltungen, bei 
denen jener Erfolg in annähernd dem n-ten 
Teil aller Fälle eintritt, einen überwiegend 
großen, der Einheit sich nähernden Bruchteil 
des gesamten Spielraums der bedingenden Um- 
stände aus. Dagegen sind diejenigen Gestal- 
tungen, die eine davon stark abweichende Ge- 
samtzahl ergeben, ein verschwindend kleiner 
Bruchteil des ganzen Spielraums!). 
Ist bei 1000 Roulette-Würfen annähernd gleich 
oft Rot und Schwarz gefallen, so können wir zu- 
nächst auch nur sagen, daß die ganz besondere 
Gestaltung der bedingenden Umstände, die ein ab- 
weichendes Verhalten (z. B. ein sehr starkes Über- 
wiegen des Rot) zur Folge gehabt hätte, tatsäch- 
lich nicht verwirklicht gewesen ist. Machen wir 
uns klar, daß diejenigen Gestaltungen, denen wir 
das tatsächliche Verhalten immer angehören sehn, 
den weit überwiegenden Spielraum alles denkbaren 
Verhaltens ausmachen, so fällt der Anlaß weg, da- 
‘für eine Erklärung aus irgendwelchen Gesetzen 
des Geschehens zu suchen. 
Die „Erklärung“ einer beobachteten Regel- 
mäßigkeit kann, wenn wir das Wort Erklärung im 
weitesten Sinne nehmen, in einer Gesetzmäßigkeit 
: im gewöhnlichen strengen Sinne gefunden wer- 
den; sie kann aber auch darin bestehen, daß das, 
was wir immer stattfinden sehen, einem überwie- 
1) Können wir den für einen Fall in Betracht kom- 
‚menden Spielraum als eine x-fach bestimmte Mannig- 
faltigkeit auffassen, so werden die bedingenden Um- 
stände für n unabhängige Fälle eine n.x-fach a 
stimmte Mannigfaltigkeit bilden. 
Die Natur 
genden Spielraum der denkbaren Gestaltungen ent- 
wissensehaften 
spricht, Abweichungen aber nur unter ganz be- 
sonderen, einen überaus kleinen Spielraum umfas- 
senden Bedingungen stattfinden könnten. Und ist 
das der Fall, so werden wir eine Erklärung im 
ersteren Sinne zu fordern keinen Anlaß und keine 
Berechtigung haben. Das Gesetz der großen Zah- 
len ist also kein physikalisches Gesetz, das den 
Ablauf des Geschehens bestimmte; es ist ein 
mathematisches Gesetz, das für die Größenverhält- 
nisse von Spielräumen in Betracht kommt. Die 
Berechnung von Spielraumsverhältnissen kann uns 
die in den langen Reihen zu bemerkenden Regel- 
mäßigkeiten nicht im gewöhnlichen Sinne erklären, 
d. h. als notwendiges Ergebnis eine GesetzmaBig- — 
keit darstellen. Wohl aber lehrt sie uns, daß wir 
eine solche Erklärung auch nicht zu fordern Au 
laß haben. 
Mit einigen Worten mag hier noch auf gewisse 
Begriffe und Betrachtungsweisen eingegangen 
werden, auf die vielfach besonderer Wert gelegt 
wird, und die auch von Smoluchowski zum Aus- 
gangspunkt der Untersuchung genommen werden, 
den Zufall und die „Berechnung des Zufalls“. — 
Der populären Anschauung, daß z. B. beim Wür- 
feln der Erfolg „vom Zufall abhänge“, daß es Sache 
des Zufalls sei, ob im Roulette Schwarz oder Rot 
falle, liegt als berechtigter Sinn offenbar der zu- 
grunde, daß das Eintreten des einen oder andern 
Erfolges zwar selbstverständlich durch die vor- 
aufgehenden Umstände streng bestimmt ist, aber 
schon mit ungemein geringfügigen und daher 
‚ unserer Feststellung schlechterdings entzogenen 
Änderungen jener Umstände wechselt, so daß jede 
Vorausberechnung ausgeschlossen ist!). Wirkönnen 
- weiter fragen, inwiefern der Zufall oder, besser 
gesagt, was am Zufall, was in bezug auf solche zu- 
fälligen Ereignisse berechnet werden kann. 
dies ist denn dahin zu beantworten, daß wir die 
Größenverhältnisse derjenigen Spielräume der be- 
dingenden Umstände berechnen können, die den 
einen und anderen Erfolg herbeiführen. Dabei 
ist es nun von besonderer Wichtigkeit, wenn sich 
für ein uns interessierendes Verhalten sehr große, 
der Einheit sich nähernde oder sehr kleine von 
Null nur wenig verschiedene Bruchteile ergeben. 
Denn dies sind. eben die Fälle, in denen wir 
gewisse Vorkommnisse mit ausnahmsloser Regel- 
mäßigkeit, andere niemals eintreten sehen und 
daher auch gewisse Erwartungen für die Zukunft 
mit einem Höchstmaß von Sicherheit bilden kön- 
nen. Hierdurch entsteht dann die Anschauung, 
. daß in gewisser Weise auch der Zufall dem Ge- 
. setze unterworfen sei, 
und daß wir durch unsere 
Berechnungen „Gesetze des Zufalls“ ermitteln. 
1) Übrigens ist dies zwar die wichtigste und Klarsie, 
auch die uns gerade hier interessierende, aber doch 
keineswegs die einzige Bedeutung, in der das Wort 
Zufall gebraucht wird. 
deren Bedeutungen, denen nur das gemeinsam ist, daß 
irgendein gesetzmäßiger Zusammenhang verneint wer- 
den soll, ist hier natürlich nicht der Ort einzigen 
Vgl. darüber Prinzipien S. 97f. 
Auf die mannigfaltigen an- 
Und 
