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1.1919] 
auch als Antezendentien ganz verschiedene Ver- 
haltungsweisen zugehören. Denken wir uns, um 
dies zu veranschaulichen, die Zustände in einem 
Zeitpunkt als Flächenteilchen einer horizontalen 
Ebene, die zeitlich voraufgehenden und folgenden 
als darüber und darunter geschichtete Ebenen, 
deren Flächenteilchen wiederum die gleiche Be- 
deutung haben mögen. Denken wir uns’ ferner die 
‚Art, wie die Zustände den Bewegungsgesetzen 
_ entsprechend ineinander übergehen, durch Fäden 
dargestellt, die die aufeinanderfolgenden Lagen 
verbinden, so wird das, was in einer Schicht einen 
' kleinen Zustandsbereich bezeichnet, also als ein 
kleines Feld dargestellt ist, schon in der ‘nächst- 
höheren und nächsttieferen Schicht in eine große 
Anzahl z. T. weit auseinanderliegender Fäden auf- 
gelöst sein. Und verfolgen wir die Gesamtheit die- 
ser Fäden weiter, sei es vor-, sei es rückwärts, so 
finden wir eine Auflösung in immer feinere und 
. Fäden festgelegt. 
feinere, immer mannigfaltiger durcheinander ge- 
mischte Fäden. Denken wir uns nun zwei stark 
verschiedene Zustandsbereiche des gegenwärtigen 
Zeitpunkts, dS und dS’, in dieser Weise ver- 
folgt, so werden wir stets früher oder später 
irgendwo den Fall verwirklicht bekommen, daß, 
‚figürlich gesprochen, ein dem einen und ein dem 
anderen zugehöriger Faden in sehr nahe Benach- 
barung kommen. Da nun die Größenverhältnisse 
sehr nahe benachbarter Verhaltungsweisen als 
eindeutig bestimmt gelten können, so ist damit 
die Bewertung der beiden, dS und dS’ angehörigen 
Da aber diese in dem ursprüng- 
lich ins Auge gefaßten Zeitpunkt einen fest be- 
stimmten Teil der ganzen kleinen Bereiche dS 
und dS’ ausmacht, so ist damit auch das Größen- 
verhältnis von dS und dS’ festgelegt. Die man- 
nigfache Durcheinandermischung derjenigen Zu- 
stände, die zwei gegenwärtigen stark verschiedenen 
Verhaltungsweisen als ihre Vorbedingungen zu- 
gehören, gewinnt also hier dieselbe Bedeutung 
wie bei den gewöhnlichen Zufallsspielen die regel- 
mäßige periodische Wiederholung des Erfolges bei 
‚kleinen Wechseln der bedingenden Umstände; 
auf ihr beruht es, daß eine ganz bestimmte Grö- 
 Benbewertung in zwingender Weise als Maß für 
die Möglichkeit eines Verhaltungsbereiches \ ge- 
geben ist. 
Es hat keine N eldkeit, jene Wahrschein- 
 lichkeitsfunktionen auf dieser Grundlage wirk- 
lich zu bestimmen. 
Verfolgen wir zunächst. die 
Verhältnisse eines Moleküls, das ohne Zusammen- 
 stoß, also ohne Änderung seiner Geschwindigkeit 
_ weiterfliegt, so ergibt sich leicht, daß der obigen 
licherweise geschieht, jeden Ort und jede Ge- 
_schwindigkeitsrichtung als gleich möglich be- 

_.trachten, genauer gesagt, die Möglichkeit ' des 
_Raumbezirks demjenigen. Bruchteil gleich setzen, 
- den. er von dem gesamten von dem Gase ein- 
¢ 
| Forderung genügt wird, wenn wir, wie es üb- 
oo 
genommenen Raum ausmacht, und ebenso: die 
"Wahrscheinlichkeit dafür, "daß die Richtung‘ der 
Be eyaunz innerhalb “eines körperlichen Winkels 
2, _ vy. Kries: Über Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Physik. 

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liege, gleich dem Bruchteil, den dieser körper 
liche Winkel von der Gesamtheit der möglichen 
Richtungen, 4x, ausmacht. 
Man sieht dies am einfachsten für unendlich 
kleine Spielräume ein, welche durch zwei auf der 
Geschwindigkeitsrichtung senkrechte Flächen- 
elemente dF; und dF. (vergl. die nebenstehende 
Figur) und einen solchen Spielraum der Ge 
schwindigkeits-Richtung bestimmt sind, daß die 
Richtung von jedem Punkt des Elements 
dF, nach jedem des Elements dF: mög!ich 
ist. Dann ist für den Anfang des betreffen 
den Zeitraums der Verhaltungs-Spielraum 
gegeben durch dF, multipliziert mit dem 
körperlichen Winkel, in welchem dF» von 
dF, aus gesehen erscheint; für das Ende 
des Zeitraums durch dF: multipliziert mit 
dem körperlichen Winkel, in welchem dF, 
von dF:e her gesehen erscheint. Beide Pro 
dukte sind einander gleich. Bei der Fort- 
bewegung ohne einwirkende Kräfte ändert 
sich also der in der obigen Weise ge 
messene Spielraum nicht. Ebenso ändert 
er sich auch nicht bei einer Reflexion 
nach dem idealen Gesetz des elastischen 
Stoßes an einer festen Wand (Gleichheit 
des Einfalls- und Reflexionswinkels, un 
veränderte Geschwindigkeit). 
Etwas verwickelter gestalten sich die Verhalt- 
nisse für den Fall eines Zusammenstoßes zweier 
Moleküle, und wir kommen hiermit auf die be 
kannte und wichtige von Boltzmann gegebene Ab- 
leitung der Maxwellschen Formel für die Ver- 
teilung der Geschwindigkeiten, Fassen wir in der 
Bezeichnung S einen sehr kleinen Zustandsbereich 
eines Moleküls zusammen (der also als das Pro- 
dukt der Differenziale eines Raumteils, eines kör- 
perlichen Winkels und der Geschwindigkeit aus- 
zudrücken wäre), so wird die Wahrscheinlichkeit 
dafür, daß der Zustand innerhalb dieses Be- 
reiches liege, = Sp(e) zu setzen sein, worin c 
die Geschwindigkeit, eine zu suchende Funktion 
bedeuten würde. Um nun diese zu ermitteln, kön- 
nen wir die entsprechende Betrachtung ’auf ein 
Molekülpaar und auf den Vorgang eines Zusam- 
menstoßes ausdehnen. Die Wahrscheinlichkeit, 
daß von irgend einem solchen Paare das eine 
innerhalb eines, das andere innerhalb eines an- 
deren Zustandsbereiches sich befindet, ist gleich 
dem Produkt. der beiden einzelnen Wahrschein- 
lichkeiten; Auch hier ist nun die zu stellende 
Forderung die, daß die Wahrscheinlichkeit eines 
(kombinierten) Verhaltungsbereiches vor dem Zu- 
sammenstoße und des ihm zugehörigen nach dem 
Zusammenstoß gleich angesetzt werden muß. 
Wir können uns nun den Vorgang eines Zu- 
sammenstoßes in der Weise variiert denken, daß 
für beide Moleküle sehr kleine Änderungen des 
vor und nach dem.ZusammenstoBe stattfindenden 
Verhaltens (in- bezug auf Ort, Bewegungsrichtung 
und Geschwindigkeiten): in ‚Betracht gezogen: wer- 
den. Bezeichnen wir analog der soeben allee- 
af, 
