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20. '. Kries: Über Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Physik. [ „Die Natur, 
mein, getroffenen Festsetzungen den Zustandsbe- 
reich des einen und anderen Molekiils vor dem Zp- 
sammenstoß mit S, und S’,, die entsprechenden 
Werte nach dem RIES Seid mit S, und S’, 
ferner die Geschwindigkeiten beider Moleküle vor’ 
und nach dem Zusammenstoß mit ca und ec’, sowie 
@ und ce’, so erhält die obige Forderung die 
Form 
Sa S’aP (ca) pP (C'a) = Sp -S'p @ (Cp) ® (cp). 
Die rein mechanische, von den StoBgesetzen 
ausgehende Betrachtung, in der der Kernpunkt der 
Boltzmannschen Ableitung zu erblicken ist, lehrt 
nun, daß S,. 8’, nicht gleich S,„:. S’, ist. Viel- 
mehr Verhalten sich die Produkte der Zustands- 
bereiche vor und nach dem Zusammenstoß umge- 
kehrt wie die Produkte der vor und nach dem 
Zusammenstoß bestehenden Geschwindigkeits- 
quadrate: 
Da Dia a. Cal ann 
Sp é Sy 

Es muß ‚daher 
Ga? N Ca 
et 
P (Ca) P (C'a) 
© (ep) © (Cp) 
gesetzt werden, eine Beziehung, der die Maxwell- 
sche Funktion genügt und aus der sie sich ab- 
leiten läßt 1). 
Die obige Berechnung lehrt, das unter der ge- 
machten Voraussetzung (dauernde Einschließung 
einer Gasmasse in eine adiabatische Hülle) für 
jedes Molekül jeder Ort und jede Richtung der 
Geschwindigkeit gleich möglich ist, die Möglich- 
keit, verschiedener Geschwindigkeiten aber sich 
nach der bekannten Maxwellschen Funktion be- 
stimmt. Gilt dies für jedes der enorm zahlreichen 
Moleküle, die vorhanden sind, so ergibt sich nach 
dem Gesetz der großen Zahlen, daß diejenigen Zu- 
stände, die wir kurz als eine gleichmäßige Ver- 
teilung der Massen und der Energie und als eine 
Verteilung der Geschwindigkeiten nach der Max- 
wellschen Formel bezeichnen können, einen der 
Einheit nahekommenden Bruchteil des ganzen 
durch die Dauerbedingungen zugelassenen Spiel- 
raums ausmachen?). Dabei ist zu betonen, daß bei 


1) ‘Boltzmann selbst hat seine Ableitung des Max- 
wellschen Verteilungsgesetzes etwas abweichend auf- 
gefaßt und dargestellt; die obige Darstellung ist also 
eine, jener vorhin erwähnten „Umdeutungen“. Eine 
solche ist m. E. notwendig, da sich gegen die Boltz- 
mannsche Darstellung begründete Bedenken erheben 
lassen. Vgl. darüber “Prinzipien S. 198 .f. und Logik 
S. 625 f.. Es.scheint mir. nicht. erforderlich, hier des 
genaueren darauf einzugehen. Hier geniigt der Nach- 
weis, daB sich das Gesetz der Geschwindigkeitsvertei- 
lung auf der Grundlage der Spielraumstheorie in einer 
durchsichtigen ‘Weise ableiten. läßt, und zwar gerade 
aus der‘ ‚Forderung, daB die Möglichkeiten solcher Zu- 
stände, die sich den Bewegungsgesetzen gemäß anein- 
ander schließen, gleich bewertet werden müssen. 
2); Diese Betrachtung ist freilich insofern nicht ganz 
streng,-als»die dabei vorausgesetzte vollkommene Unab- 
hängigkeit, der einzelnen Moleküle nicht absolut zu- 
treffend . ist. Die Anwesenheit eines’ an einer be- 
stimmten Stelle schließt ja die Anwesenheit eines 
»weiten an der :nämilichen Stelle ‘oder im einem sehr 
kleinen sie umgebenden Bezirk -aus. Auch die 
Gene 
der Bewertung der Spielraumsgrößen der Art, wie 
gegenwärtige Zustände aus früheren hervorgehen, 
Rechnung getragen ist: das Größenverhältnis 
zweier Spielräume gegenwärtigen Verhaltens ist 
zugleich dasjenige ihrer Antezedentien. Ja, es ist 
gerade diese Forderung, aus der die Bewertung 
der Spielraumsgrößen sich zwingend ergibt. 
Wir können die gestellte Aufgabe hiermit als 
in der Hauptsache gelöst ansehen; die herkömm- 
liche Betrachtung läßt sich aus dem Spielraums- 
prinzip herleiten und auf dieser Grundlage legiti- 
mieren; das, was wir mit voller Sicherheit er- 
warten und was wir immer. eintreten sehen, ent- 
spricht -in der Tat einem. überwiegenden Spiel- 
raum der denkbaren. Verhaltungsweisen. , 
Für eine vollständige Abschließung der Theo- 
rie fehlt nun aber doch nöch ein wesentlicher 
Punkt. Eine Möglichkeit, die als Bruchteil aller 
überhäupt denkbaren Gestaltungen angegeben ist, 
wird ja für unsere Erwartungen nur dann maß- 
gebend sein, wenn unser Wissen auch unvollstän- 
dig oder ungenau genug ist, um die Gesamtheit 
aller denkbaren Gestaltungen gleichermaßen zu- 
zulassen. Dies würde also etwa für den idealen 
Fall zutreffen, daß uns über den Zustand des 
Gases außer den konstanten allgemeinen Bedin- 
gungen schlechterdings gar nichts bekannt ist. Im 
allgemeinen werden wir aber über das gegenwär- 
tige, eventuell über ein früheres Verhalten des 
Gases allerhand wissen, oder wir sind mindestens 
leicht in der Lage, einiges festzustellen, z. B. eine 
erkennbar gleiche oder ungleiche Temperaturver- 
teilung, Strömungsverhältnisse und dergl. Der 
praktisch interessierende Fall ist also der, daß 
uns außer. den konstanten allgemeinen Bedingun- 
gen noch Weiteres, namentlich in bezug auf einen 
Anfangszustand, bekannt ist. Die . prinzipielle 
und maßgebende Annahme, die die Betrachtung 
dieser Vorgänge beherrscht, besteht ja nun darin, 
daß für diejenigen Wahrscheinlichkeits-Erwägun- 
gen, die entferntere -Zeitpunkte betreffen, all 
das, was. wir von dem gegenwärtigen Zeit- 
punkte. wissen, ohne Belang sei, jene vielmehr. | 
immer ebenso anzusetzen sind, wie wenn uns über 
das Verhalten, abgesehen von den sich dauernd 
erhaltenden Bedingungen, gar nichts bekannt wäre. 
In der Tat verfahren wir nach dieser Regel, Ist 
uns bekannt, daß im Augenblick eine ‚ungleiche 
Verteilung von Temperatur oder Dichte besteht, 
so nehmen wir an, daß zufolge der mannigfaltigen 
Durcheinandermischung, die durch das Durchein- 
anderfahren und Zusammenstoßen der Moleküle 
herbeigeführt wird, die Bedeutung dieses Umstan- 
des für spätere Zeitpunkte schwindet, und daß wir — 

„sehwindigkeiten sind insofern nicht völlig unab- 
hängig, | als die Gesamtwerte ‘aller kinetischen Ener- 
gien: einen ‚bestimmten festen Betrag: ergeben müssen. 
Rine Durchführung der Berechnung "unter Berücksich- 
tigung dieser Verhältnisse stößt auf wohl unüberwind-. 
liche‘ mathematische » en Es läßt sich 
aber! auch übersehen, daß das | ‚Gesamtergebnis sich von > 
dem nicht unterscheiden ‚wird, das wir ohne. Berück- ’ 
Bichtientng jener Zusammenhänge erhalten, Rap 
