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zu sein. 
künstlich abgegrenzte Begriffe innerhalb der 
Wissenschaft zu konstruieren; sobald man aber 
die Ergebnisse der Wissenschaft auf Objekte des 
realen Lebens anwendet, so hat man es doch 
wieder mit Dingen zu tun, die nur durch natür- 
liche Begriffe erfaßt werden. Hier liegt tatsäch- 
lich eine gewisse Schwierigkeit vor, die man nicht 
immer stillschweigend übergehen sollte, aber sie 
bietet keinen Grund, an dem Wert und der 
Brauchbarkeit exakter Begriffsbildung zu zwei- 
feln. Denn bei einer richtigen Anwendung z. B. 
des Energiegesetzes (etwa sobald wir die Größe 
der für ein Elektrizitätswerk erforderlichen 
Dampfmaschine berechnen) kommen durchaus 
nicht die Assoziationen, die mit der Wortbedeu- 
tung von „Arbeit“ oder „Energie“ verknüpft sind, 
zur Geltung, sondern ausschließlich Messungs- 
resultate, die in bestimmter Weise den in der 
Physik definierten Größen entsprechen. Daß die 
physikalischen Gesetze sich in der Wirklichkeit 
niemals genau, sondern immer nur näherungs- 
weise bestätigen lassen, trifft nicht die logische, 
sondern nur die rechnerische Seite der Anwen- 
dung. Man kann sagen, die Übertragung mathe- 
matischer oder physikalischer Theorien auf wirk- 
liche Vorgänge: erfolge logisch exakt und nur in 
Hinsicht auf die numerischen ‚Verhältnisse ap- 
proximativ. Wir werden dies bei der Anwendung 
des exakten Wahrscheinlichkeitsbegriffes noch 
näher verfolgen. 
2. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff. Nach dem, 
was eben über exakte Begriffsbildung im allge- 
meinen gesagt wurde, wird es nicht wunderneh- 
men, wenn wir der Definition des mathe- 
matischen Wahrscheinlichkeitsbegriffes zunächst 
die Forderung vorausschicken, alles das auszu- 
schalten, was man sonst an Gedanken und Vor- 
stellungen mit diesem Wort zu verknüpfen ge- 
wöhnt ist. Mit der Wahrscheinlichkeit, daß es 
in 50 Jahren wieder einen Krieg gibt, oder mit 
der Wahrscheinlichkeit, die eine gewisse Les- 
art im Cicero ‚für sich hat“, hat die mathe- 
matische. Wahrscheinlichkeit so wenig zu tun, wie 
der physikalische Arbeitsbegriff mit der Arbeit, 
die beim Komponieren der „Zauberflöte“ geleistet 
wurde. — Sodann müssen wir für die Exaktheit 
der hier durchzufiihrenden Definition eine ge- 
wisse Einschränkung gelten lassen: Es wird nicht 
möglich sein, alle vorkommenden Ausdrücke, die 
für mathematische Begriffe stehen, in dem 
vorliegenden Zusammenhang vollständig zu defi- 
nieren. Wer die Begriffe nicht kennt — es han- 
delt sich nur um solche, die an der Schwelle der 
höheren Mathematik gelehrt zu werden pflegen —, 
muß sich eben mit der Versicherung begnügen, 
daß ihre Definitionen in vollkommen exakter 
Form in allen Lehrbüchern zu finden sind. 
Dies vorausgeschickt, beginnen wir mit der 
Betrachtung eines Objektes folgender Art: Es 
liege eine unendliche Folge von irgendwelchen ge- 
(dachten Dingen vor, deren jedes einzelne als 
Mises: Marbes „Gleichförmigkeit in d. Welt“ u. d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. [ 
Man könnte sagen: Ja, es ist leicht, | 
LARA, 
Die Natur- | 
wissenschaften 
Merkmal eine der beiden: Zahlen ,,null“ oder S| 
„eins“ aufweist. Wenn wir die Vorstellung dieses — 
Objektes möglichst konkretisieren wollen, so den- — 
ken wir beispielsweise an die Aufeinanderfolge 
der längs einer sehr langen Chaussee aufgestellten 
Entfernungsmarken (Kilometersteine). Natürlich 
wird eine wirkliche Straße immer im Endlichen — 
begrenzt sein. aber es bietet keine Schwierig- 
keiten, sich in Gedanken eine Straße vorzustellen, 
bei der auf jeden Kilometer ein weiterer folgt. — 
Zwischen den eigentlichen Kilometersteinen — 
stehen, wie wir annehmen wollen, von 100 zu — 
100 m kleinere Steine, die mit zur unendlichen 
Folge gehören. Wenn wir den kleinen Steinen das 
Merkmal ,,null“, den eigentlichen Kilometer- 
steinen das Merkmal ‚eins“ zuteilen, so haben © 
wir ein vollständiges Bild für das ins Auge ge- — 
faßte abstrakte Objekt. Ein anderes Beispiel er- 
gibt sich, wenn wir als Einzelding oder „Element“ 
der Folge jede in das Standesamtsregister einer 
sehr großen Stadt eingetragene Geburt anschen 
und dabei einer Knabengeburt die Zahl 1, einer 
Mädchengeburt die Zahl 0 zuweisen. Die Fort- 
führung einer solchen Folge ins Unendliche ist — 
nicht realisierbar, wohl aber durchaus vorstell- 
bar. Schließlich kann man auch die Reihe der 
Ziehungen aus einer Urne, die schwarze und 
weiße Kugeln enthält und in die nach jeder Zie- 
hung die gezogene Kugel zurückgelegt wird, hier- 
her rechnen; es ist natürlich gleichgültig, ob man 
einen schwarzen Zug mit 0 und einen weißen mit 
1 bezeichnen will, oder umgekehrt. 
Es ist immer nützlich und erleichtert die Dar- 
stellung, wenn für wichtigere Objekte der Be- 
trachtung, wie hier die unendliche Folge der 
durch ein Merkmal unterschiedenen Elemente, 
kurze Bezeichnungen eingeführt werden. Wir 
wollen das auch tun, aber in der Weise, daß wir 
zuvor dem in Rede stehenden Begriff noch ge- 
wisse Einschränkungen auferlegen, die sich aus 
dem Ziel unserer ganzen Überlegungen ergeben. 
Es soll in Hinkunft eine unendliche Folge von 
Elementen, deren jedes eines der Merkmale ,,null* 
oder „eins“ trägt, ein „Kollektiv“ (d. i. Sammel- 
gegenstand) genannt werden, wenn die Verteilung — 
der beiden Merkmale auf die Elemente zwei be- 
stimmten Forderungen. genügt, deren Formulie- 
rung wir uns jetzt zuwenden. “sey 
a) Erste Forderung. Wir betrachten die ersten 
100, 1000; 10900, ... , kurz, die ersten n Ele- 
mente der unendlichen Folge. Unter ihnen gibt 
es eine gewisse Anzahl, sagen wir no, solcher Ele- 
mente, deren Merkmal „null“ ist, während die 
übrigen, deren Anzahl wir mit nı bezeichnen wol- 
len, also nnı=n—no, das Merkmal ‚eins“ auf- 
weisen. Die Quotienten no:n und m:n nennt 
man die „relativen Häufigkeiten“ für das Auf- 
treten des Merkmals 0 bzw. 1 innerhalb der ersten 
nm Elemente. Es genügt natürlich, nur einen der | 
Quotienten zu untersuchen, da die Summe der 
beiden, wie man leicht einsieht, die Größe 1 hat, 
so daß der zweite sich sofort aus dem ersten be- 





