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ndert sich im allgemeinen, wenn man n ver- 
schieden groß nimmt. In Fig. 1 ist das Bild ent- 
worfen, das man erhält, wenn im Falle der Kilo- 
metersteine die relative Häufigkeit no:n als 
Ordinate zu den Abszissen n aufgetragen wird; 
dabei ist angenommen, daß die Reihe mit einem 
eigentlichen Kilometerstein, dem also das Merk- 
mal „eins“ zugehört, beginnt. Man sieht, daß die 
 Ziekzacklinie sich für Abszissen über 100 kaum 
merklich von der Horizontalen in der Höhe 0,9 
unterscheidet. Es läßt sich auch leicht ausrech- 
nen, daß die Abweichung zwischen der no : n-Linie 
und jener Horizontalen, sobald n über 100 liegt, 
höchstens noch ein hundertstel, allgemein für 
_n>N höchstens 1: N betragen kann. Man drückt 
diesen Tatbestand (da 1:N bei wachsendem N 
kleiner und kleiner wird) in der Analysis so aus, 
daß man sagt: der Unterschied zwischen no:n 
und der Zahl 0,9, geht gegen null, oder m :n 

170 20 30 4O 50 60 
Ries: 
70 80 90 100 NO 
nihert sich dem Wert 0,9 oder „nimmt den Grenz- 
wert 0,9 für unendlich großes n an“. Gleichzeitig 
"muß natürlich nı :n den Grenzwert 0,1 anneh- 
men. Wir können jetzt unter Verwendung dieser 
Ausdrucksweise die erste Forderung, die an ein 
Kollektiv gestellt wird, formulieren: Die relativen 
 Hüäufigkeiten des Auftretens der beiden Merk- 
male sollen bestimmte Grenzwerte annehmen. 
Man verwendet in der Analysis für Grenzwert 
as Zeichen lim (limes — Grenze) und setzt dar- 
Re: m = OO, wenn der Grenzwert für wachsende 
‘ gebildet Karen soll. Wir können also unsere 
erste Forderung auch so andeuten: 
a; lim “=, lim =, 
 . nz» N n=o N 
wobei in dem eben betrachteten Beispiel wo den 
Wert 0,9 und w, den Wert 0,1 besitzt. In geo- 
 metrischer Form ausgesprochen, geht die erste 
Forderung dahin, daß die Linie für no:m als 
Funktion von n eine horizontale Asymptote be- 
sitzen. soll. 
IE b) Zweite Forderung. Nicht alle Element- 
folgen, die der eben dargelegten ersten Forderung 
i genügen, wollen wir zu den Kollektivs rechnen. 
+ 
Mises: Marbes „Gleichförmigkeit in d. Welt“ u. d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 
171 
= 
Vielmehr soll u. a. gerade der bisher als Beispiel 
verwendete Fall der Kilometersteine dadurch 
ausgeschlossen werden, daß wir fordern, die Zu- 
ordnung der Merkmale an die einzelnen Elemente 
müsse — in noch näher zu bestimmendem Sinn 
— regellos oder zufallsartig erfolgen. In dem 
Beispiel der Kilometersteine ist es klar, daß man 
in verschiedener Weise durch systematische Aus- 
wahl von Elementen die relativen Häufigkeiten 
verändern kann. Nehmen wir etwa nur jedes 
zweite Element, so wird, je nachdem, mit wel- 
chem begonnen wird, entweder n:n=1 für alle 
n (indem gar kein Kilometerstein vorkommt), oder 
limes von no: gleich 0,8 (indem jedes fünfte 
Element das Merkmal 1 erhält). Dagegen kennen 
wir wohl Elementfolgen, bei denen eine solche 
Beeinflussung der relativen Häufigkeiten durch 
systematische Auswahl nicht möglich ist. Hier- 
her gehört unter anderem der oben erwähnte Fall 
der fortgesetzten Ziehungen aus einer Urne mit 
schwarzen und weißen Kugeln: Betrachten wir 
nur jedes zweite Ziehungsresultat oder eine 
irgendwie anders ausgewählte Teilfolge der Zie- 
hungsergebnisse, so bleiben erfahrungsgemäß die 
relativen Häufigkeiten der beiden Merkmale, wenn 
nur n groß genug gewählt wird, unverändert. 
Daß die Erfahrung sich naturgemäß nur auf 
endliche Folgen beziehen kann, tut nichts zur 
Sache, wir stellen eben für unsere unendliche 
Folgen dieses Verhalten als Forderung auf. Da- - 
bei präzisieren wir die Art der vorzunehmenden 
Auswahl noch in zweifacher Weise: die ausge- 
wählte Teilfolge muß selbst wieder eine unend- 
liche sein (sonst könnte ja von einem Grenzwert 
nieht mehr gesprochen werden), und die Auswahl 
muß selbstverständlich ohne Verwendung der Merk- 
malunterschiede ‚der _ auszuwählenden Elemente 
erfolgen. Das letztere deshalb, weil man ja sonst 
die Auswahl so treffen könnte, daß z. B. geradezu 
nur jedes Element mit dem Merkmal 0 oder nur 
jedes zweite mit dem Merkmal 1 oder dergleichen 
beibehalten wird. Dagegen ist es durchaus nicht 
notwendig, daß der Auswahl ein arithmetisches 
Gesetz zugrunde gelegt wird, man kann z. B. auch 
als Teilfolge auswählen: alle Elemente, denen ein 
Element mit dem Merkmal 0 vorangeht, usf. Wir 
formulieren nun die zweite Forderung, die an 
ein Kollektiv gestellt wird, wie folgt: Wird aus 
der gesamten Folge der Elemente eine unendliche 
Teilfolge ohne Verwendung der Merkmalunter- 
schiede der auszuwählenden Elemente gebildet, 
so sollen auch innerhalb der Teilfolge die rela- 
tiven Häufigkeiten für das Auftreten der Merk- 
male Grenzwerte besitzen, und zwar dieselben wie 
die der Gesamtfolge. Wir wollen diese Forderung 
als die nach der „Regellosigkeit der Zuordnung“ 
bezeichnen, die erste als die tr nach 
„Eexistenz der Grenzwerte“. 
Es ist nunmehr ein leichtes, den Wahrschein- 
lichkeitsbegriff, wie wir ihn gebrauchen, exakt 
zu formulieren. Wir sagen: 
Wenn eine unendliche Folge von mit „null“ 
