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oder ‚eins“ bezeichneten Elementen ein Kollektiv 
bildet, d. h. den beiden Forderungen nach Existenz 
der Grenzwerte und nach Regellosigkeit der Zu- 
ordnung genügt, so nennen wir die Grenzwerte 
Wo, Wi der relativen Häufigkeiten die „Wahr- 
scheinlichkeiten für das Auftreten des Merkmales 
„null“ bzw. des Merkmales „eins“ innerhalb des 
betrachteten Kollektivs“. 
Um Verwechslungen zu vermeiden, wäre es 
allerdings besser, statt „Wahrscheinlichkeit“ für 
den mathematischen Begriff einen andern Aus- 
druck, etwa „Probabilität“ od. dgl. zu wählen. Wir 
folgen aber dem bisherigen Gebrauch, der sich 
doch nicht mehr allgemein ausschalten läßt, in- 
dem wir einfach ,,Wahrscheinlichkeit“ sagen. 
Aus der Definition geht vor allem hervor, daß 
wir von der Wahrscheinlichkeit nur innerhalb 
eines bestimmten Kollektivs sprechen können. 
Wenn im folgenden der Hinweis auf das Kollek- 
tiv gelegentlich fortgelassen wird, so geschieht es 
nur deshalb, weil kein Zweifel über das gerade 
in Betracht kommende Kollektiv möglich ist. 
In ‘einer Hinsicht ist die Definition offen- 
kundig zu enge gefaßt, was nur» vorläufig, der 
Einfachheit wegen, geschehen ist. An Stelle der 
zweı verschiedenen Merkmale kann man ohne 
weiteres auch mehrere, z. B. die Zahlen 0, 1, 2, 3 
zulassen, oder auch Zahlenpaare 0,0; 0,1; 1,0; 
1,1; Zahlentripel usf.. Es ist auch durchaus nicht 
nötig, die Merkmale auf ganze Zahlen oder über- 
haupt auf diskrete Zahlenwerte zu beschränken. 
Den allgemeinsten Fall erhält, man, indem man 
als Merkmal irgend eine Gruppe von k Zahlen 
oder, was dasselbe ist, einen Punkt des k-dimensio- 
nalen Raumes ansieht. Diesen k-dimensionalen 
Raum nennen wir dann kurz den ,,Merkmalraum“. 
Die erste Forderung -ist allgemein so zu fassen, 
daß für zwei beliebige, einander ausschließende 
Teile (oder noch allgemeiner: Punktmengen) Ao 
und A; des Merkmalraumes no und nı die An- 
zahlen der Elemente bezeichnen, deren Merkmale 
nach A» bzw. Ai fallen. Bei der zweiten Forde- 
rung muß man zunächst an Stelle der Gesamtfolge 
die Gesamtheit jener Elemente treten lassen, deren 
Merkmale einem bestimmten Teil A des Merkmal- 
raumes angehören; zerfällt dann A in die beiden 
Teile Ao und Ai, so muß man verlangen, daß der 
Quotient der ursprünglichen Grenzwerte Wo :1W,, 
die diesen Teilräumen entsprechen, erhalten 
bleibt, sobald aus der eben bezeichneten Gesamt- 
heit von Elementen eine Auswahl ohne Verwen- 
dung der Merkmalunterschiede getroffen wird. — 
Dies mag in der allgemeinen Formulierung etwas 
verwickelt erscheinen, ist aber, wenn wir konkrete 
Anwendungen ins Auge fassen, durchaus nicht 
schwerer zu beherrschen, als die einfacheren, oben 
angeführten Sätze für den Fall von nur zwei ver- 
schiedenen Merkmalen. 
3. Die Beziehungen zur Wirklichkeit. Es ist 
oben bereits teilweise angedeutet worden, welche 
Beziehungen zwischen unserem mathematischen 
Wahrscheinlichkeitsbeeriff und wirklich beob- 
Mises: Marbes „Gleichförmigkeit in d. Welt“ u. d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. [ 
Die Natur- 
wissenschaften 
achtbaren Erscheinungen bestehen. Um es im Zu- 
sammenhang zu übersehen, wählen wir wieder 
als Beispiel den. schon erwähnten Fall der Urne 
mit schwarzen und weißen Kugeln. Element des 
Kollektivs ist ein Zug aus der Urne, Merkmal die 
Zahl 0 für eine schwarze, die Zahl 1 für eine 
weiße Kugel als Ziehungsergebnis. Man weiß 
nun aus Erfahrung, daß bei einer genügend 
weit gesteigerten Zahl von Ziehungen das Ver- 
hältnis der schwarzen zu den weißen Kugeln in 
immer engeren Grenzen schwankt. Abgesehen von 
kleineren alltäglichen Beobachtungen sind auch 
“verschiedentlich Versuche in großem Umfang aus- 
geführt worden, so z. B. von Czuber, der die Er- 
gebnisse der Prager und Brünner Lotterieziehun- 
gen aus den Jahren 1754—1886 zusammengestellt 
hat, wobei nur mit Nummern versehene Papier- 
röllchen an Stelle der Kugeln tretent), Überein- 
stimmend hat es sich immer wieder gezeigt, daß, 
wenn nur die Zahl n der’ Beobachtungen groß ge- 
nug ist, die relativen Häufigkeiten sehr wenig von 
bestimmten festen Zahlen abweichen. 
"Hinsichtlich der in der zweiten Forderung zum | | 
Ausdruck gebrachten Eigenschaft der Element- 
folgen sind wohl direkte Beobachtungen in syste- 
matischer Weise nur selten durchgeführt worden. 
Aber die alltägliche Erfahrung läßt es uns als 
ganz evident erscheinen, daß derjenige, der etwa 
nur bei jeder zweiten Lotterieziehung spielt, oder 
sich sonstwie die Ziehungen aussucht, keine ande- 
ren Gewinstaussichten hat, als der, der jedesmal 
setzt. Die Hauptstütze für die zweite Forderung 
liegt allerdings darin, daß aus ihr, wie sich zeigen 
läßt, das bekannte Multiplikationsgesetz der Wahr- 
scheinlichkeiten folgt, dessen Übereinstimmung 
mit der Wirklichkeit bei allen großen — bis- 
herigen — Versuchsreihen nachgewiesen wurde. 
Alle wirklichen Beobachtungen können sich 
natürlich nur auf endliche Elementfolgen er- 
strecken, während ein Kollektiv definitionsgemäß 
aus unendlich vielen Elementen besteht. Daraus’ 
folgt schon, daß von einer /dentität der von uns — 
als „Wahrscheinlichkeiten“ bezeichneten Zahlen 
mit irgendwelchen Messungs- oder Zählungs- 
resultaten niemals gesprochen werden kann. 
Aber so, wie es in der Erfahrungswelt keinen 
mathematischen Punkt und keine mathematische 
Gerade gibt, die Geometrie aber sehr wohl prak- 
tische Anwendungen zuläßt, so liegt auch in der 
auf unsern Wahrscheinlichkeitsbegriff aufge- 
bauten Theorie eine Möglichkeit, das Verhalten 
gewisser beobachtbarer Erscheinungsreihen mit 
größerer oder geringerer Genauigkeit zu beurtei- 
len. Wie die Geometrie, so stellt auch die Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung eine in sich geschlossene, 
exakte Wissenschaft dar, die in ihrem Aufbau, in 
ihren Schlüssen und Lehrsätzen von aller äußeren 
Erfahrung unabhängig ist; aber die ersten Vor-- a 
aussetzungen, die sogenannten Axiome, dieses Wis- 
sensgebietes sind — ebenfalls wie in der Geo- 
: E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3, Auth 
Bd. J, Leipzig 1914, S. 157. 



