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metrie — so gewählt, daß eine Anwendung der 
Ergebnisse auf Gegenstände der realen Außen- 
welt möglich ist. Der praktische Wert der Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung muß nach dem Umfang, 
dem diese Anwendung zu brauchbaren, d. h. 
mit der Beobachtung übereinstimmenden, Resul- 
taten führt, beurteilt werden. Daraus folgt schon, 
daß man die Wahrscheinlichkeitsrechnung keines- 
wegs als „falsch“ oder „richtig“ bezeichnen kann: 
sie könnte unnütz sein, wenn es kein Erfahrungs- 
gebiet gäbe, in dem sie anwendbar wäre, sie ver- 
_ liert aber nicht ihre Berechtigung dadurch, daß 
' nachgewiesen wird, daß sie in dem einen oder 
andern Fall nicht anwendbar sei. Von diesem 
Standpunkt aus müssen wir auch die Marbeschen 
Überlegungen und Behauptungen beurteilen. 
Das älteste und sozusagen klassische Anwen- 
— dungsgebiet der ° Wahrscheinlichkeitsrechnung 
bildet die.Lehre von den Glücksspielen, für die 
das wiederholt schon herangezogene Beispiel der 
 aus»einer Urne gezogenen Kugeln oder Lotterie- 
_ nummern typisch ist; andere Fälle sind das 
_Wiirfel-, das Roulettespiel, viele Kartenspiele usf. 
Hier überall ist die Berechtigung der beiden Vor- 
 aussetzungen — Existenz der Grenzwerte und 
deren Unabhängigkeit von einer beliebigen Aus- 
wahl — durch Jahrhunderte alte Erfahrungen 
nicht minder als durch die Ergebnisse umfang- 
| reicher systematischer Versuche bestätigt. Die 
Widersprüche, die Marbe beim Roulettespiel ge- 
- funden haben will, werden wir: weiter unten be- 
sprechen. Auch wird noch, im folgenden Ab- 
schnitt, von einer Besonderheit die Rede sein, die 
die Anwendungen in der Lehre von den Glück- 
spielen kennzeichnet und die zu schiefen Auffas- 
sungen des ganzen Wahrscheinlichkeitsbegriffes 
“ geführt hat (Symmetrieprinzip und sog. a priori- 
— Wahrscheinlichkeit). 
Als viel wichtiger müssen heute die Anwen- 
dungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelten, 
die man unter dem Namen der statistischen zu- 
' sammenfassen kann (einschließlich der sogenann- 
_ ten Fehlertheorie), nämlich die in der Bevölke- 
 _ rungslehre, in der Versicherungswissenschaft, in 
der Biologie und vielen anderen Teilen der Natur- 
_ betrachtung. Es ist heute hier und da Brauch ge- 
worden, namentlich bei Versicherungsmathemati- 
3 _kern, den Sachverhalt so darzustellen, als könnte 
man in diesen Gebieten ohne die Grundsätze der 
eigentlichen Wahrscheinlichkeitsrechnung aus- 
kommen, da man es nur mit endlichen Element- 
_ folgen zu tun habe, wobei der Begriff des Grenz- 
_wertes gar keine Rolle spielt. Dies ist aber ein 
-_ Trugschluß, und es dürfte kaum möglich sein, 
eine derartige „Quotenrechnung“, wie der neue 
Ausdruck lautet, widerspruchsfrei aufzubauen. 
_ Jedenfalls stimmt der enasedanke der Ver- 
_ sicherungstheorie genau mit dem wesentlichen 
Inhalt unserer beiden Forderungen überein. Denn 
man kann diese im Sinne einer approximativen 
Anwendung auf die Wirklichkeit dahin zusam- 
S  menfassen, daß zwei genügend große Gruppen von 
Mises: Marbes „Gleichförmigkeit in d. Welt“ u. d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 173 
Elementen, die demselben Kollektiv angehören, 
stets annähernd gleiche relative Häufigkeiten auf- 
weisen müssen. Gerade das ist die Voraussetzung, 
die man macht, wenn man die Sterblichkeits- 
quotienten aus einer möglichst großen Gruppe er- 
ledigter Versicherungsfälle berechnet und dann 
auf die neu abzuschließenden Versicherungen 
überträgt. Daß dabei sorgfältige Erwägungen 
über die zeitliche und örtliche Abgrenzung des 
Beobachtungsstoffes eintreten müssen, zeigt nur, 
daß es eben jedesmal auf die genaue Festlegung 
des Kollektivs ankommt, bevor man von Wahr- 
scheinlichkeiten überhaupt sprechen kann. 
Eine dritte Gruppe von Anwendungen. der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung dürfen wir, obwohl 
sie in letzter Zeit große Bedeutung erlangt hat, 
in diesem Zusammenhang übergehen: das sind die 
sogenannten statistischen Untersuchungen in der 
theoretischen Physik. Hier ist der Zusammenhang 
zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Wirk- 
lichkeit kein unmittelbarer, da Theorien physi- 
kalischer Natur zwischen beiden liegen. 
Es bleibt nur noch, im Sinne unserer früheren 
Ausführungen zu erörtern, ob bzw. wie weit wir 
den exakt definierten und dann auf die Wirklich- 
keit übertragenen Wahrscheinlichkeitsbegriff 
(also die „Probabilität“) für das setzen dürfen, 
was im gewöhnlichen Sprachgebrauch ‚„Wahr- 
scheinlichkeit“ heißt. Die Dinge liegen hier nicht 
anders, als in der Physik, wenn wir als Maß der 
Temperatur die Dehnung der Quecksilbersäule 
einführen: wir verzichten dabei auf ein unmittel- 
bares Maß der subjektiven Empfindung und 
setzen dafür ein objektiv feststellbares, zur Ver- 
gleichung taugliches Erkennungszeichen. Denn 
der Laie, der nichts von Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung weiß, versteht unter Wahrscheinlichkeit den 
Grad der Gewißheit oder Ungewißheit, mit der 
eine Hypothese aufgestellt wird. Die Beurteilung 
dieses Grades ist vollkommen subjektiv, d. h. es 
gibt keine Möglichkeit festzustellen, wie die 
Wahrscheinlichkeitsangaben zweier Personen zu- 
einander liegen. Der .eine halt es für sehr viel 
wahrscheinlicher, daß innerhalb der nächsten zehn 
Jahre ein Krieg ausbricht, als daß er selbst im 
Laufe ‘des nächsten Jahres stirbt; der andere ist 
der umgekehrten Ansicht, aber daraus folgt noch 
nicht, daß die Kriegsvoraussicht des ersten stärker 
*wire als die des zweiten. In manchen, nicht in 
allen, Fällen der Anwendung des natürlichen 
Wahrscheinlichkeitsbegriffes kann man nun das 
Vorhandensein eines Kollektivs — nämlich in 
dem beschränkten Sinne, wie es in der Erfah- 
rungswelt z. B. auch eine „Kugel“ oder eine 
„Gerade“ gibt — nachweisen und demgemäß den 
künstlichen Begriff der Wahrscheinlichkeit für 
den natürlichen einschieben. Man wird die 
Verhältnisse leichter übersehen, wenn wir für die 
mathematische Wahrscheinlichkeit das oben einge- 
führte Wort ‚„Probabilität“ gebrauchen. Es müßte 
dann heißen: Die Probabilität kann als objektives 
Maß der Wahrscheinlichkeit verwendet werden, wie 
