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der Stand der Thermometersäule als Maß des 
Wärmeempfindens. Beispiele für die Anwendbar- 
keit der ,„Probabilität“ sind alle oben angeführten 
Fälle der Glückspiele, der Sterbenswahrscheinlich- 
keit usf.; als Gegenbeispiele nennen wir wieder 
die Wahrscheinlichkeit einer Lesart im Cicero, 
eines Kriegsausbruchs und ähnliches. Die Gren- 
zen zwischen den beiden Möglichkeiten sind übri- 
gens schwankend und man könnte, wenn man sich 
nicht scheut, den Dingen Gewalt anzutun, viel- 
leicht immer noch eine Art von Kollektiv kon- 
struieren. Das bekannte Problem von der Wahr- 
scheinlichkeit der Zeugenaussagen liegt wohl 
schon jenseits der Grenze, d. h. man läßt der- 
artige Dinge besser aus der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung fort, bei denen die Konstruktion des 
Kollektivs so weit hergeholt ist, daß der Ein- 
druck einer Übereinstimmung zwischen dem sub- 
jektiven Empfinden und der errechneten Maßb- 
zahl nicht aufkommen kann. 
4. Die Problemstellung der Wahrscheinlich- 
keitsrechnung. Wir knüpfen jetzt an die in Ab- 
schnitt 2 gegebenen Definitionen des Kollektivs 
und der Wahrscheinlichkeit an, um das allge- 
meine Problem zu formulieren, dessen Behandlung 
den ausschließlichen Gegenstand der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung bildet. Dabei wollen wir die 
Gesamtheit der innerhalb eines Kollektivs be- 
stehenden Wahrscheinlichkeiten als die Verteilung 
für dieses Kollektiv bezeichnen. Z. B. bilden in 
dem einfachen Fall des Abschnitts 2, in dem nur 
„null“ und „eins“ als Merkmale auftreten, die 
Zahlen w, und tv; die Verteilung. Kann jede der 
Zahlen 1.02.73, „m ein Merkmal sein, so 
wird die Verteilung dureh die entsprechenden 
Grenzwerte w,, Wy, Wa, . ..., Wm dargestellt, die 
wir uns etwa als Ordinaten zu den Abszissen 1, 
2,3,.. „m aufgetragen denken können. Nunmehr 
spricht sich das allgemeine Problem wie folgt aus: 
Gegeben sind ein oder mehrere Kollektivs mit 
ihren Verteilungen; aus diesen Kollektivs wird 
nach bestimmten Regeln ein neues abgeleitet, 
dessen Verteilung aus den gegebenen Verteilungen 
zu berechnen ıst. 
Wir führen zunächst vier Beispiele aus der 
Theorie der Glückspiele an: 1. Gegebenes Kollek- 
tiv ist die Folge der Würfe mit einem Würfel, 
Merkmal die Zahl 1 bis 6, die bei einem 
Wurf an der Oberseite erscheint; hierzu die 
gegebene Verteilung, bestehend aus den 
6 Zahlen w,, Wo, ., eg, deren Summe 1 
ist und deren jede die Wahrscheinlichkeit für das 
Auftreten des Merkmales 1 bzw. 2,... bzw. 6 
darstellt. Das abgeleitete Kollektiv habe zu Ele- 
menten den ersten, vierten, siebenten .... Wurf 
mit demselben Würfel. Die Merkmale sollen un- 
verändert bleiben. Gefragt wird nach den Wahr- 
scheinlichkeiten 1’ bis we’ dafür, daß in dem 
neuen Kollektiv, also bei jedem dritten Wurf, 
eine der Zahlen 1 bis 6 erscheint. Aus der zwei- 
ten Forderung, die ein Kollektiv erfüllen muß 
(vgl. Abschnitt 2), folgt sofort die Lösung: 
Mises: Marbes „Gleichförmigkeit in d. Welt“ u. d. Wahrscheinlichkeitsrechnung. [ 
Die Natur- y 
1D,’ =, W,' = Wo, 
2. Das gegebene Kollektiv sei dasselbe wie in 
der ersten Aufgabe. Das abgeleitete Kollektiv 
habe jetzt dieselben Elemente, also wieder samt- — 
liche Würfe mit dem betrachteten Würfel, das — 
Merkmal eines Wurfes sei aber null oder eins, je 
nachdem die getroffene Augenzahl ungerade oder — 
gerade ist. Frage: Wie groß ist die Wahrschein- 
lichkeit Wo’ eines ungeraden bzw. v1’ eines geraden 
Wurfes? Die Beantwortung erfolgt leicht nach 
bekannten Regeln der Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung, es ist 
Wo’ = 0, + w3-+m;, WwW,’ = We + wy + Wz. 
3. Das gegebene Kollektiv sei wieder‘ das- 
selbe wie in der ersten Aufgabe. Das abgeleitete 
bestehe aus allen-Würfen, die eine gerade Augen- 
zahl ergeben, als Elementen, das Merkmal jedes 
solchen Elementes sei die Augenzahl, also die 
Zahl 2, 4 oder 6. Frage: Wie groß ist die Wahr- 
scheinlichkeit wy (bzw. 1v,', wg) dafür, dab ein 
Wurf, von dem man schon weiß, daß er gerad- 
zahlig ist, die Augenzahl 2 (bzw. 4, 6) ergibt? 
Wieder findet man nach bekannten Rechenregeln 
die Lösung: 
w Phat Mo Wo a: wi =— Wy Ze 
2 ~ wy + yy + Ww, m + w+ Iw,” 
We 
mie ee Ze 
6 Wy + Dy + We 
4. Gegeben seien zwei Kollektivs, und zwar 7 
seien der Einfachheit wegen beide gleich dem in 
der Aufgabe 1 gegebenen. Das abgeleitete Kollektiv 
habe zum Element einen Wurf mit beiden Wür- 
feln und als Merkmal das betreffende beim Wurf 
erscheinende Zahlenpaar 1,1; 12;....; 
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w,; 
einem Wurf mit beiden Würfeln die Kombination 
%,h (wo %, 4 zwei der Zahlen 1, 2, ., 6 bezeich- 
net) zu treffen. 
sog. Multiplikationsgesetz 
keiten geliefert und lautet: 
W's 2 = Wz - Wz N = 2S eaeeons 
Diese vier Beispiele sind so gewählt, daß sie die 
vier Haupttypen von Ableitungen neuer Kollek- 
tivs aus gegebenen kennzeichnen. Wir sprechen 
im Fall der ersten Aufgabe von einer „Auswahl“, 
der 
weil aus den Elementen des gegebenen Kollektivs 
nach einem in der zweiten Forderung ausge- 
sprochenen Prinzip eine Teilfolge ‚ausgewählt“ 
wird, 
„Mischung“, weil hier die Merkmale 1, 3, 5 bzw. 
2, 4, 6 zusammengelegt und die zugehörigen Ele- 
mente „gemischt“ werden, im dritten Fall von 
einer „Teilung“ oder „Aussonderung“, weil hier 
die Elementenfolge in zwei Teile geteilt und der 
eine, der die Elemente mit den Merkmalen 2, 4, 6 
enthält, ausgesondert wird, endlich im vierten. 
Fall von einer „Verbindung“ zweier Kollektivs. 
Durch Wiederholung und Kombination dieser 
Operationen, der Auswahl, Mischung, Teilung und 
Verbindung (einschl. einer gewissen. Erweiterung, 
die hier übergangen werden soll) entstehen alle 
wissenschaften < 
AB: BE PAPO) OL: 
Die Antwort wird durch das Fi 
Wahrscheinlich- 



a 
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see h re 
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im Fall der zweiten Aufgabe von einer 
