






























Ableitungen neuer Kollektivs, mit denen man 
in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun 
at. Die Rechnungsregeln, durch die in den 
etzten drei Fällen die gesuchten Verteilungen 
aus den gegebenen gefunden werden, lassen sich 
aus den Voraussetzungen, also im wesentlichen 
aus den beiden Forderungen, die an ein Kollek- 
tiv gestellt werden (Abschn. 2), herleiten. Man 
pflegt sie gewöhnlich als die Gesetze der Addition, 
der Division und der Multiplikation von Wahr- 
‘scheinlichkeiten zu bezeichnen. | 

Bei der meist üblichen Behandlung der vier 
Aufgaben in den Lehrbüchern werden von vorn- 
| herein die sechs Wahrscheinlichkeiten tv, bis is 
| der einzelnen Würfelseiten als untereinander gleich, 
also alle gleich t/s angesetzt. In der Tat ist diese 
| Gleichwahrscheinlichkeit der sechs Würfelseiten 
das Kennzeichen eines „richtigen“ Würfels, Aber 
‘man erkennt, daß es für den Aufbau der Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung ganz unwesentlich ist, 
welche Zahlenwerte die Größen i, bis We an- 
nehmen und insbesondere auch, auf welchem Wege 
diese Zahlenwerte gefunden werden. Wir stellen 
uns stets nur die Aufgabe, aus gegebenen Wahr- 
scheinlichkeiten andere zu berechnen; dagegen 
_ gehört die Ermittlung der Verteilungen innerhalb 
des den Ausgangspunkt der Rechnung bildenden 
- Kollektivs nicht zu den Aufgaben der Wahr- 
scheinlichkeitsrechnung im engern Sinn. Die 
-Heranziehung einer Analogie aus einem anderen 
‚ mathematischen Gebiet wird das sofort näher auf- 
' kliren. Der Feldmesser kann die Lage eines 
entfernten Punktes C im Gelände dadurch m 
| stimmen, daß er eine sog. Basisstrecke AB, d. 
die geradlinige Verbindung zweier ee 
Punkte, absteckt und dann durch Visieren von A 
und B aus die Winkel CAB und CBA mißt. Es 
E* eine Aufgabe der Geometrie, aus den ge- 
— messenen Größen AB, X CAB und X CBA die 
| Koordinaten von C, oder etwa die Entfernungen 
AC und BO, zu bestimmen. Aber die Verfahren, 
die zur empirischen Ermittlung der Basislänge 
nd der’anliegenden Winkel führen, gehören nicht 
zum. Aufgabenkreis der Geometrie, auch ist es 
für den Geometer ganz gleichgültig, ob eine solche 
_ Ermittlung überhaupt stattgefunden hat oder 
nicht. So muß auch die Wahrscheinlichkeits- 
rechnung in jedem Einzelfall die Ausgangswahr- 
scheinlichkeiten als gegebene Größen ansehen. 
Macht man sich die eben dargelegte Auf- 
fassung zu eigen, so verschwinden die a 
scheinbaren Widersprüche und Paradoxien (z. B 
das sog. Bertrandsche Paradoxon)t) aus der 
Wahrscheinlichkeitstheorie. Insbesondere wird 
eine Schwierigkeit behoben, die wir schon in 
4 Abschn. 3 erwähnt hatten und die durch die 
"historische Entwicklung der Wahrscheinlichkeits- 
yechnung aus der Theorie der Glücksspiele ent- 
‘standen ist. Bei den Gliicksspielen hat man es 
mlich stets mit solchen physischen Objekten zu 

3) Ozuber a. a. 0. 8. 116. 
Besprechungen. 
175 
tun, die im Hinblick auf eine gewisse Gleich- 
verteilung der Wahrscheinlichkeiten "hergestellt 
sind. Das gilt vom Würfel nicht minder als von 
dem Glücksrad, aus dem die Lottonummern ge- 
zogen werden, wie von der Roulette usw. Überall 
schließt man aus einem gewissen Symmetrie- 
prinzip, das eine Folgerung aus dem Satz vom 
zureichenden Grunde bildett), daß die ,,Chancen“, 
wie man sich ausdrückt, „gleich verteilt“ seien. 
Nach dem, was oben gesagt wurde, fällt dieser 
Schluß nicht in den Bereich der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung. Man hat aber irrigerweise 
vielfach gerade in der Aufsuchung sog. gleich- 
berechtigter Annahmen den Schwerpunkt aller 
wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen ge- 
sehen und viel Scharfsinn darauf gewandt, diesen 
Standpunkt, also die Zurückführung aller Kollek- 
tivs auf solche mit gleichförmiger Verteilung, in 
allen Problemen durchzusetzen?). Daraus sind 
die unfruchtbaren Bemühungen um eine allge- 
meine „Wahrscheinlichkeitsbestimmung a priori“ 
entstanden, deren geringen Wert Marbe mit Recht 
hervorhebt?). Gerade bei den wichtigsten An- 
wendungen, etwa in der Versicherungswissen- 
schaft, sind die Verhältnisse ganz durchsichtig: 
Ausgangspunkt ist die empirisch ermittelte Ster- 
benswahrscheinlichkeit aller Altersklassen, abge- 
leitet wird z. B. die Wahrscheinlichkeit, irgendein 
höheres Alter zu erleben. Von gleich möglichen 
Fällen ist da nirgends die Rede. Wenn wir die 
bereits erwähnte Analogie mit der Geometrie 
etwas weiter führen wollen, können wir die sta- 
tistischen Anwendungen der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung etwa mit der „praktischen Geometrie“ 
(Geodäsie) vergleichen, in der die Daten der Auf- 
gaben empirisch bestimmt werden, die Theorie der 
Glückspiele aber mit der reinen Geometrie, die 
sich in keiner Weise darum bekümmert, woher 
die Daten bekannt sind, und speziell — im Hin- 
blick auf die sog. Gleichverteilung — etwa mit 
der Lehre von den regelmäßigen Körpern oder 
Figuren. 
(Fortsetzung folgt.) 
Besprechungen. 
Kükenthal, W., Leitfaden für das zoologische Prak- 
tikum. 7. umgearb. Aufl. Jena, Gustav Fischer, 
1918. IX, 321 S. und 174 Abbild. Preis geh. 
M. 9,—, geb. M, 11,—. 
Der Brennpunkt der zoologischen Forschung hat 
schon seit einer Reihe von Jahren eine Verschiebung 
erfahren von den morphologisch-phylogenetischen Fra- 
gen, denen sein aufklärendes Licht so lange Zeit vor- 
zugsweise zugewendet war, hinüber zu vergleichend 
physiologischen und biologischen Problemen. Dieser 
Entwicklungsgang beginnt sich mehr und mehr auch im 
praktischen Unterricht geltend zu machen; so sind denn 
4) Uber die analoge historische Rolle des Symme- 
trieprinzipes in den Anfängen der Mechanik vgl. 
E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung. 
2) Vel. z. B. Joh. v. Kries, Die Prinzipien der 
Wahrscheinlichkeitsrechnung, eine logische Unter- 
suchung. Freiburg i. B. 1886. 
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